数学形式美及其科学创新功用，本文主要内容关键词为：形式美论文,功用论文,数学论文,科学论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
中图分类号：N05
文献标识码：A
文章编号：1002-0241(2001)07-0043-43
数学美集中体现在它的形式美上。数学是一门精密科学，又是形式科学，其明显特征是广泛的适用性、高度的抽象性、严格的逻辑性和语言的简明性，因而数学的审美价值主要在于它的形式美方面。随着数学向各门理论学科的转移渗透，数学形式美的简单性、对称性、统一性、逻辑严密性及精神性在各门科学理论及其体系中日益突出。
数学形式美的独特性体现在它与其他科学美的不同审美标准上。其他各门科学研究的对象分别是自然系统或社会系统的某一具体方面和层次，其美的形式离不开美的内容，因而最终的审美标准也要与具体内容相联系。
数学形式美的形成与传统形式美（如自然和艺术的形式美）的形成过程是相同的，二者都表现为内容向形式的历史积淀。具体来说，数学形式美是从一般科学美的形式演化而来的。一般科学的形式包含有具体的科学内容，经过长期的重复应用、抽象提炼、类比移植，原有的具体科学内容逐渐普泛化为某种抽象的内容；当一般科学美的形式与原有的具体内容逐渐脱离而获得某种普泛化的抽象意义、意味后，便演变为一种规范化的形式，成为独立的审美对象，即数学形式美。麦克斯韦方程就是从对科学实验发现的库仑定律、高斯定律、安培定律和法拉第定律的研究中提炼出来的，它以数学的对称美的形式确立了电荷、电流、电场、磁场的普遍联系；而更为抽象的常微分方程则最初是从流体力学的流体流动过程的研究中提炼出来的。可以说，数学形式美是以科学实践历史过程中内容向形式长期积淀过程为基础的，对自然科学和社会科学的形式质料和形式规律的某种概括、抽象的形式，是传统形式美的形成史在科学领域中的体现。
数学形式美与传统形成美之间既有密切联系又有效大差异。二者的联系主要表现在它们的形成史在本质上是一致的，可以说数学形式美是传统形式美的高级发展阶段；并且，从形式美的形式规律来看，数学形式美和传统形式美在许多形式规律上是一致的，如均衡、对称、比例、简单、统一、和谐等等。但数学形式美与传统形式美在组成形式美的形式质料上是不同的：后者的形式质料是具体生动的色彩、线条和声音，而前者的形式质料是抽象的数学符号。另外，我们还可以从感性与理性、抽象与具体、内在形式与外在形式诸方面考察数学形式美与传统形式美之间的区别。首先，由于传统形式美的感性质料是事物的外观形式，因而传统的形式美往往给人以感性的优美感；而数学形式美的理性质料则可反映自然事物的内在形式即事物内在关系和结构，因而数学形式美往往给人以理性的冷峻感。其次，传统形式美是事物的外在形式经历史积淀和心理积淀演化而成的，而数学形式美则是由一般科学的内在形式经历史积淀和抽象思维积淀演化而来的；由于事物的内在形式要比事物的外在形式更抽象、理性且复杂，因而数学形式美的形式规律比传统形式美的形式规律更抽象、精确，并且比传统的形式规律要多得多。
在整个科学史的演化过程中，数学形式美是从其他科学美的形式演化而来的；而一旦数学形式美形成了，又反过来对其他科学美的发展起着积极的推动作用。数学形式美在科学研究和创新活动中越来越发挥着自身独到的重要的作用。具体而言，数学形式美在科学审美创新中有以下几个方面的功用：
1.通过数学形式美法则进行科学创新
在科学活动中，科学家可以直接通过数学形式美创新法则获得科学成果。玻尔在量子力学理论的建构过程中，就曾遵循着数学形式美获得了丰硕成果。玻尔认为，量子力学问题只要与适当的数学理论结合，就立刻得到了一种非常优美的形式。他认为，数学形式美法则为科学家提供了开辟道路的工具。如量子力学互补性要求中的一切矛盾，事先就已被数学化这一审美标准所要求的逻辑一致性排除了。他还认为，数学形式美补足了人们形象思维能力在微观世界中的局限，在洞悉微观世界美的王国的征途中始终像明灯一样为我们照亮崎岖的山路。
杨振宁在他的《美与理论物理学》一文中曾写道：“在最近的物理学中，我们常常发现我们是先导出一个方程，然后再讨论它的物理含义。这与早期的发展有很大差别。……电学和磁学的那些重要定律是先从实验中发现，然后用数学形式表达出来。写出这些方程之后，人们再用它去寻找它们所表示的电学和磁学的基本对称性。而在最近的物理学中，人们先从对称性出发，然后再得到方程。”杨振宁在文中令人信服地举出了具有形式美的“数学方程预测了物理现象”的例证。其实，通过数学形式美法则而获得重大科学成果的范例莫过于麦克斯韦方程了。根据法拉第的实验，电磁理论的方程式简略地表示为：
，并取名为位移电流。这样，就使电磁的微分方程达到了相对完美对称的形式，而且为后来的实验所证实。通过对数学方程形式美的追求，麦克斯韦把电磁统一了起来，奠定了经典电动力学的基础，并使蕴含了洛仑兹不变性这样重要的物理学对称原理成为科学史上重大进展之一。
2.形成数学形式美表述风格
数学是一种高级的科学表达符号语言。数学符号系统的形式美是人类几千年来一代又一代科学家审美创新和改造的结果。它具有简明、概括、高度的抽象性、广泛的适用性等特点，使它有可能成为一切科学的有力工具。毕达哥拉斯似乎最早认识到数学形式化所固有的创造力，但科学理论的内容真正寻找到数学语言描述形式并形成风格却历经了几百年时间。300年前，伽利略第一次尝试用数学语言来表达物理定律。用精确的数学语言来描述从自然界的实验中得出的物理定律，就是伽利略的伟大教导，也正是定量物理学的开始。随后，牛顿通过自己的努力使物理学的数学形式化取得了进展，他的完整经典力学体系统治物理学约200年。18世纪后期，物理学的注意力转移到了电磁学，而麦克斯韦方程用数学形式将法拉第的科学思想完美地表达了出来。麦克斯韦方程直接导致了19世纪末到20世纪初发生的物理学革命，导致爱因斯坦狭义相对论和普朗克量子论的提出。
科学理论可以用数学形式来表达，也可以不用数学而用其他形式表述。然而，数学形式以其形式的优美和逻辑的严密而使其他表述形式相形见绌。因此，几百年来各门科学一直处于不断加速数学化的进程之中。从牛顿力学到拉格朗日、哈密顿和雅可比的分析力学，从一百年前的瓦尔拉代数方程组到现代阿罗和德布鲁的拓朴学形式，无一不显示出这种科学的数学形式美的趋势。在当代，科学理论的建构，往往表现在一种为某一科学内容寻找最佳数学形式的活动，数学形式美已成为其他科学美的形式的一般表述形态。正如杨振宁所说：“我们对理论物理学中美的理解是变化的。对于这种变化，影响最显著最重要的是理论物理学日益增长的数学化。”
从某种意义上说，各门科学的数学化趋势，并因此日益形成科学审美主体理论表述的主导风格这一现实，著名数学大师冯·若伊曼的下述见解不失为一种精辟的概括：“现代数学中一些最好的灵感（我相信是最好的灵感），很明显地起源于自然科学。数学方法渗透并支配着一切自然科学的‘理论’分支。在现代经验科学中，它已越来越成为衡量成就的主要标准。这些现代经验科学或者已经能用得上数学方法，或者已经用上近乎数学方法的物理方法。确实，贯穿于一切自然科学之中，有着一条由连续不断的无形环节组成的链条。所有这些环节都越来越趋向于数学，它们几乎就体现了科学发展的过程，这已经日益明显了。”
3.形成数学形式美的审美评鉴标准
科学审美评鉴与科学审美创新活动有着密切的内在联系：科学审美创新为科学审美评鉴提供了对象和前提，而科学审美评鉴则可以起到指导、促进、完善科学审美创新的作用。数学形式美可谓是科学史上最早从科学审美实践中总结出来的科学审美评鉴标准。从毕达哥拉斯到哥白尼、开普勒、阿斯顿、普朗克和爱因斯坦，无不把数学化看作是科学理论审美价值的重要标准。海森堡认为，把数学形式的完整性作为科学理论的美学标准，是针对理论形式的完美性而提出来的美学标准。狄拉克曾强调指出：“使一个方程具有美感比使它去符合实验更为重要。”当有人问当代最伟大的物理学家之一查德·P.费曼，为什么不满意某些流行的基本粒子理论。在提到一些技术性方面的问题之后，他说：“瞧，它们显得非常不漂亮。”我们知道量子力学的基本规律有薛定谔的波动力学表述和海森堡的矩阵力学表述，它们都具备客观的真理性。人们之所以一致公认薛定谔的表述形式更美一些，是因为他采用了物理学家所习惯的偏微分方程形式，而海森堡的表述形式更美一些，是因为他采用了物理学家所习惯的偏微分方程形式。而海森堡的表述则由于其理论形式不甚美而招致很多人的非议。
伟大的数学家高斯对于数学符号的标准处理，为数学形式美这一科学审美评鉴标准本身的标准化问题铺平了道路。之后，数学形式美的审美评鉴标准逐渐形成以下一些特殊的科学审美含义：精确性，即数学形式是否具有内在无矛盾性或自洽性；简练性，即能否用最少的数学符号语言叙述最丰富的科学内容；对称性，即数学形式是否具有对称性之美；不变性，即数学化是否能做到在尽可能广泛的变换群作用下的不变性；统一性，即数学符号和其他科学用语是否统一。
4.形成数学形式美的科学创新信念和动力
科学发现史实证明，各门经验科学中，只要运用了数学这一精密的形式科学，就可以使科学理论的描述变得简洁完美起来。数学形式美的神奇作用和巨大魅力，深深地吸引着科学家们，成为他们科学审美创新的强大动力，甚至成为他们的科学信条。正如狄拉克所说：“随着对一个课题的知识的不断增加，依据大量的证据去工作时，人们就越来越多地转向数学程序。那时追求数学美成为一个潜在的动机。理论物理学家把这数学美的要求当作信仰的行为。”狄克曾毫不掩饰地表示：“……这种对数学美的欣赏支配着我们的全部工作。这是我们的一种信条，相信描述自然界基本规律的方程都必定有显著的数学美，这对我们像是一种宗教。奉行这种宗教是很有益的，可以把它看成是我们许多成功的基础。”狄拉克一生都始终一贯地表现出对数学形式美的执著追求。他在1981年某次国际理论物理讨论会上一再声称：“我想我正是和这一概念（优美的数学）一起来到这个世界上的。”追求物理规律的数学形式美，可以说是狄拉克科学美学思想的核心，如果离开了数学形式美和对数学形式美的执著追求，狄拉克就不可能做出那么多丰富的科学审美创新成果。
爱因斯坦亦曾坚信数学形式美对科学审美创新有着非凡的作用。他坚持优美的数学形式与现实的物理世界间一定有着必然的联系，因此，“理论科学家越来越不得不服从纯数学的形式考虑的支配”“创造性的原则寓于数学之中”。并且，爱因斯坦认为：这种信念是，并且永远是一切科学创新的根本动力。
收稿日期2001-03-12