让解题思路来得更自然一些，本文主要内容关键词为：思路论文,自然论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
学习数学离不了“解题”，“解题”是数学学习中的主要活动.做习题的过程是应用数学知识解决问题的过程.解题的目的是加深对数学概念、公式、法则等理解，巩固所学的知识和技能，培养数学能力、提高数学素养.从这个角度讲，著名数学家、数学教育家波利亚的“掌握数学就是意味着善于解题”能成为一句脍炙人口的名言也就顺理成章了.
但是，有些人在解题中过于渲染解题技巧，至于技巧怎么来的，其中又蕴涵着怎样的数学思想方法，常常不作解释，或语焉不详，让人感觉到如同“魔术师帽子里的兔子”般神奇.有些杂志也为此推波助澜，大量刊载解题技巧方面的文章.
著名数学史学家M.克莱因曾说，“数学学科并不是一系列的技巧，这些技巧只不过是它微不足道的方面：它们远不能代表数学，就如同调配颜色远不能当作绘画一样.技巧是将数学的激情、推理、美和深刻的内涵剥落后的产物.”无独有偶，我国著名音乐家傅聪也说：“技巧有时是音乐的敌人.”
其实“巧解”的弊端显而易见的，“巧解”往往有其局限性，适用的范围一般都比较狭窄，必须在一定的条件下才会产生，往往掩盖了数学基本思想方法的渗透.老子说：“大巧若拙.”解题应该追求“通法”，即基本思想方法，因为“通法”具有普遍性、指导性，能从根本上解决问题.
“提高解题能力”是每一个学习数学的人（学生与老师）在努力追求的目标，但是，不同的解题理念会带来不同的解题效果.我们建议，解题必须重视基本概念所反映的思想方法这一根本大法的应用，而不是“对题型、想技巧”.要让“回到概念去”思考和解决问题成为习惯，这是学好数学的一个诀窍.
下面通过几个简单的例子说明在数学解题中怎样使解题思路自然而然地展开.请读者体会解题思路是如何产生的？
从该解法可知，基本不等式不仅提供了关于两个正实数的一种不等关系，而且也提供了改变运算结构（和、积互化）的一种途径.
解析2 求2x+y的最大值，当然应把2x+y看成是一个整体，这样就有如下解法：
上述3种不同的计算思路都说明一个道理：自然而然、水到渠成的解题过程，常常源自思维方法上的质朴！
例2 定义在有理数集Q上的函数f（x），满足f（1）=2，对任意有理数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y），试求函数f（x）的表达式.
试题背景 2010年12月25日，笔者有幸参加了人民教育出版社中数室章建跃老师主持的教育部重点课题“中小学数学课程核心内容及其教学的研究”开题报告会.在这个会议上河北师大的陈雪梅老师介绍了他们在一个省级骨干教师培训班上所做的“代数教学知识调查”（由美国密歇根州立大学数学与科学教学部所开发的试卷改编），其中上面的这个问题是平均分最低的.
下面用“问—答”的形式给出我们的解答思路，请读者体会其中的思想与方法.
问：首先，我们见过“f（x+y）=f（x）+f（y）”吗？
答：见过！
问：在什么时候见过？是以怎样的情形出现的？当时我们是研究这个函数的什么问题？
答：在高一学函数时曾多次见到过f（x+y）=f（x）+f（y）.
我们还记得实数集上满足这个条件的函数是奇函数，并且f（0）=0.也求过某些特殊的函数值，如f（2）f（4）等.
问：是否记得我们曾经研究过它的解析式吗？
答：好像没有，对！一定没有！
问：这么说来，这既是一个我们似曾相识的问题，又是一个具有一定挑战性的问题.应该说它是在我们比较熟悉的一个问题上变式引申而得到的.
这个问题除了和以前类似问题所求的结论不同外，还有什么不一样的地方吗？
答：定义域不一样！以前这类问题的定义域都是实数集R，而现在这个函数的定义域却是有理数集Q.
问：这对我们有什么启发吗？
问：解题活动经验告诉我们，解决复杂的数学问题可从简单情形做起.如，先考虑在正整数集
上函数f（x）的解析式会是什么？你自己能求出来吗？
答：由于已知f（1）=2，所以不妨令y=1，x=n（n∈），则有
f（n+1）=f（n）+f（1）=f（n）+2.
将此式与我们较为熟悉的内容联系起来，那就得到一个数列问题！即可以用比较习惯了的符号重新表述它：
由f（x+y）=f（x）+f（y）（x∈Q）易知f（-x）=-f（x），即f（x）是奇函数，
所以，当x∈Z且x＜0时，f（x）=-f（-x）=-（-2x）=2x.
又不难得到f（0）=0.
所以当x∈Z时，f（x）=2x.
问：剩下的就是，当x不是整数的有理数时，其解析式是什么？我们能乘胜追击一举拿下最后的堡垒吗？
问：有什么办法能达到预期的目的吗？
答：我们自然想到，如何将当前这个问题转化为已经解决了的问题，也就是能将“分数”的情形与“整数”情形联系起来吗？
这当然要由已知f（x+y）=f（x）+f（y）来提供：
显然f（2x）=f（x）+f（x）=2f（x），
假设f（kx）=kf（x）（k∈N*），
则f（k+1）x）=f（kx）+f（x）=kf（x）+f（x）=（k+1）f（x）.
所以，由数学归纳法知，对一切正整数m，都有f（mx）=mf（x）.
综上，对于一切有理数x，有f（x）=2x.
感悟：问题的解决经历了由正整数到整数，再由整数到有理数的过程，这个过程一步一个台阶（如下图所示），层次分明、逐次渐进，并且后者与前者有密切的逻辑联系，就像爬坡一样拾级而上.而如果利用一点无理数的知识（每一个无理数都是某个有理数列的极限）就可以知道，如果对任意实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y），那么对于一切实数x，都有f（x）=2x.这种由渐次深入式的推理方式可以形象地表示为：
其实，解答本题的思路并非是毫无根据的空穴来风，它与学习“指数幂的运算”这部分内容（人教A版数学1（必修）第49页至53页）时所采用的方法完全相同：首先在“正整数指数幂”的基础上学习“（正）分数指数幂”的意义，其次学习“负分数指数幂”的意义，这样就将“指数的概念从整数指数推广到了有理数指数”.最后以
为例直观感受了“无理数指数幂”的意义：用“有理数指数幂”无限逼近它.
“千里之行，始于足下”.当我们遇到“难题”和新颖的试题而一筹莫展无从下手时，不妨先把问题简化一下，以突出其关键信息，特别地“把一个比较复杂的问题，‘退’成最简单最原始的问题，把这个最简单、最原始的问题想通了、想透了”，然后再归纳、综合而实现飞跃，“这是学好数学的一个诀窍”.
解答任何一个有困难的数学问题都应该从简单情形开始！
例3 若不等式
对于任意正实数x，y都成立，求实数k的取值范围.
广东省深圳市王远征老师在自己的博文中介绍说：在2009年12月至2010年12月这一年间，《中学数学研究》（南昌）和《中学数学月刊》上刊载了三篇研究该题的论文，三篇文章的作者给出了多种解答，且技巧性强.之后，王远征老师“在数学美学原理的引领下”利用柯西不等式简洁地给出了本题“最朴素、最简洁的解答和该命题的两个推广”.
王老师的分析使笔者收益颇多.在王老师“没有必要过分追求解题技巧！‘平平淡淡才是真’！”的启发下，笔者也尝试着自然而然、水到渠成地求解本题.
解析 首先，将待求参数k从略显复杂的式子中解放出来（俗称为“分离变量”法），
即原问题等价于
细心观察上述等式，由于我们的目标是求u的最大值，所以应该把u作为参数“保留下去”，从x，y中选择一个作为主元，借助一元二次方程有实数根的条件，可建立u的不等式，这极有可能为“求u的最大值”创造有利条件.
正如数学家加德纳所说：“数学的真谛在于不断寻求越来越简单的方法证明定理和数学问题”.值得指出的是，这里所谓的“简单”，并不是指什么特殊的技巧和书写过程的简洁，而是解决这个问题的思维过程是自然的、简单的，所用的知识是基础的.
大道至简，师法自然.“数学是自然的；数学是清楚的”，用最简单的方法说明最深刻的道理，才是数学之精髓.