重视类比促进概念自然生成不等式及其解题集的教学设计_不等号论文

注重类比，促进概念的自然生成——人教版“不等式及其解集”教学设计，本文主要内容关键词为：不等式论文,教学设计论文,人教版论文,其解论文,注重论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。

      一、教学内容及内容解析

      （一）教学内容

      人教版课标教材“9.1.1不等式及其解集”.

      （二）内容解析

      本节课内容属于“数与代数”领域，是在学生已经学习了“等式及相关内容”的基础上，进一步研究描述实际生活数量关系的一种模型.数量有大小之分，存在相等或不等关系，相等关系用等式来刻画，不等关系需要用不等式来刻画.本节课核心的内容是了解不等式的概念，通过具体的实际问题情境加深对不等式解及其解集的概念的理解.

      本节课是章起始课，学生对于“不等式产生的背景”、“学习不等式的必要性”，以及“如何研究不等式”等产生疑问，所以本节课的教学过程中既要让学生体会到不等式是刻画实际生活中不等关系的不可或缺的模型，体现“不等式”产生的自然性.又要通过类比等式的概念得出不等式的概念，类比研究“等式”的方法，得出研究“不等式”的方法，从而让学生体会到“类比”是数学研究的重要方法.

      基于以上分析，可以确定本节课的教学重点为：了解不等式的意义.

      二、教学目标及目标解析

      （一）教学目标

      （1）了解不等式的意义，会用不等式表示简单的不等关系；

      （2）理解不等式的解及解集的概念，会用代数形式及数轴表示简单不等式的解集；

      （3）经历建构研究不等式内容的框架图，体会“类比”是研究数学的重要方法.

      （二）目标解析

      达成教学目标（1）的标志是学生能结合具体实例判断式子是否为不等式，理解各类不等号的意义及用法，会选择合适的不等号表示简单的实际问题中的数量关系.

      达成教学目标（2）的标志是能够通过计算判断一个数是否为不等式的解，用符号表示简单不等式的解集，并学会用数轴的形式表示简单不等式的解集.

      达成教学目标（3）的标志是通过类比等式的研究方法，在教师的引导下建构出研究不等式的内容框架图，体会“类比”是研究数学的重要方法.

      三、教学问题及诊断分析

      学生知道，使得方程成立的未知数的值为方程的解，不等式的解与方程的解一样，使得不等式成立的未知数的值为不等式的解，但与“方程的解”不一样的是不等式的解通常有无数个，学生刚接触会有些难度，另外，所有解的集合称为不等式的解集，由于学生第一次接触集合概念，学生理解起来比较抽象.

      基于以上分析，本节课的教学难点是：不等式解集的概念.

      四、教学支持条件

      根据本节课的教材内容特点，为了突出重点，突破难点，提高课堂效率，采用以观察分析、独立完成为主，多媒体演示为辅的教学组织方式.

      五、教学过程设计

      引言：数量有大小之分，就有相等关系或不等关系，用等式（方程）可以研究实际生活中的等量关系，要研究实际生活中的不等量关系就需要用不等式.

      （一）类比等式，建构不等式的概念

      问题1 下列问题中的数量关系能用等式表示吗？若不能，应该用怎样的式子来表示？

      （1）下页图1中皮球的质量x（g）与5（g）的关系如何？

      

      （2）4支单价为a的笔记本总价钱为12；

      （3）据天气预报预测，明天最低温度为11℃，设明天的气温为t（℃），怎样表示t与11℃的关系？

      （4）图2为公路上对汽车的限速标志，表示汽车在该路段行驶的速度不得超过80 km/h，用v（km/h）表示汽车的速度，怎样表示v和80之间的关系？

      

      （5）一辆匀速行驶的汽车在11:20距离A地50千米，要在12：00之前驶过A地，车速应满足什么条件呢？（设车速为x千米/小时）.

      （6）如图3，小聪与小明玩跷跷板，大家都不用力时，跷跷板左低、右高，小聪的身体质量为p（kg），书包的质量为2 kg，小明的身体质量为q（kg），怎样表示p、q之间的关系？

      

      （7）要使代数式

有意义，x的值与3之间有什么关系？

      师生活动：学生独立思考如何用式子表示上述问题的数量关系，出现新的不等号时学生解释不等号的名称及用途.

      答案：（1）x=5，x＞5；

      （2）4a=12；

      （3）t≥11；

      （4）v≤80；

      （5）

≥50；

      （6）p+2＞q；

      （7）x≠3.

      【设计意图】通过感知大量的等量及不等量关系的新材料，既出现用“等式”表示实际问题的数量关系，又出现用“不等式”表示实际问题的数量关系，初步感受不等式也是刻画现实世界中常见的数学模型，了解“不等式”概念的内涵与外延.

      追问1：上述式子中，哪些是我们学习过的式子，它们叫什么名字？哪些是我们没有学习过的式子，你能给他们取个名字吗？

      追问2：我们知道“含有等号的式子叫做等式”，那么你能给不等式下个定义吗？

      追问3：你能说说你所见过的“不等号”吗？

      师生活动：学生观察上述式子，自然地就分为“等式”和“不等式”两类，通过类比等式的概念，得出不等式的概念为“用不等号连接表示大小关系的式子叫做不等式”，通过前面表示的式子得出数学中常用的不等号.

      【设计意图】通过类比“等式”的概念得出“不等式”的概念，整个过程完全是由学生自主构建，既让学生了解概念的生成背景和引入新概念的理由，体会到“不等式”是构建实际问题中不等量关系中不可或缺的模型，了解它在数学体系中的作用和地位；还有效地启发了学生的思维，提高了学生的创新思维能力.

      问题2 说说看生活中还存在哪些不等量关系，你能用不等式表示吗？

      师生活动：学生说出生活中大量的不等关系，教师引导学生用不等式表示.

      【设计意图】引导学生用数学的眼光观察世界，认识世界，感受数学来源于生活，并应用于生活.

      问题3 （口答）判断下列各式中哪些是不等式？

      （1）

+1≥0；

      （2）a=b；

      （3）1+3a；

      （4）x-y≠1.

      师生活动：学生独立思考并口答，并说明理由.

      例1 根据下列数量关系列出不等式.

      （1）a是正数；

      （2）y的2倍与6的和比1小；

      （3）

减去10不大于10；

      师生活动：学生独立思考，教师板书，师生共同归纳用不等式表示实际问题中的不等量关系的方法与步骤：（1）先确定不等式两边的代数式；（2）根据不等量关系，选择合适的不等号.并比较与“用等式表示实际问题中的数量关系”的相同点与不同点.

      【设计意图】巩固新知，学会判断不等式，学会选择合适的不等号表达不等量关系，通过归纳列不等式的方法，体会类比的思想方法的作用.

      （二）类比等式，建构不等式的框架

      问题4 生活中存在着大量不等式，本章我们将一起研究不等式的有关内容，那么你想学习不等式的哪些内容呢？

      师生活动：学生独立思考，说出自己的想法，教师引导学生回忆“等式”的有关内容，将研究等式的方法形成框架图，并在此基础上，通过类比建构出不等式研究的内容，如图4所示.

      

      【设计意图】通过横向类比可以加强知识之间的对比，同时又可以鲜明地展示知识的获取过程，形成清晰的知识脉络.知识结构的类比让学生明白了不等式的学习内容和学习方法，从而对研究数学的基本框架有一定的认识，对培养学生的学科素养和研究问题的基本套路起到非常重要的作用.

      （三）探究不等式的解集

      问题5 一辆匀速行驶的汽车在11:20距离A地50千米，要在12:00之前驶过A地，车速x应满足：

≥50，如果你是驾驶员，你设定车速可以是多少？

      追问1：还有其他的数值也满足这个条件吗？这样的数值有多少个？

      追问2：既然这样的数值有很多，能否借助数学语言来表示，如何表示？

      师生活动：学生大量列举满足条件的数值，教师类比“方程的解”的概念归纳“不等式解的概念”，教师还可列举一些不满足条件的数值，让学生进一步体验不等式解的概念；在用符号来表示不等式无数个解的时候教师引导学生用数学符号“x≥75”及用“数轴”来表示，从而归纳“不等式解集”及“解不等式”的概念，在用数轴表示x≥75时，教师重点强调用数轴表示的方法及注意点.

      【设计意图】通过列举满足实际问题条件的数值感受“不等式的解”的概念，通过大量列举不等式的解归纳得出不等式的解集的概念，用代数式及数轴表示不等式的解集，体现出数形结合的数学思想.

      （四）巩固新知

      （1）下列数中哪些是不等式x+3＞6的解？哪些不是？

      -4，-2.5，0，1，2.5，3，3.2，4.8，8，12

      师生活动：学生独立思考并口答理由.

      （2）直接说出下列不等式的解集，并在数轴上表示出来：

      ①x+3＞6；

      ②2x＜8；

      ③x-2＞0.

      师生活动：学生独立思考并写出结果，教师重点关注数轴上表示常见的错误.

      【设计意图】巩固不等式的解及不等式解集的概念.

      （五）小结及作业

      今天学习了哪些内容？

      （1）不等式的概念是什么？引入不等式有什么作用？

      （2）列不等式与列等式表示实际问题的数量关系有什么区别和联系？

      （3）你认为利用数轴表示不等式要注意哪些问题？用数轴表示不等式有哪些好处？

      作业：（1）完成课后作业题；

      （2）复习研究等式性质的方法，并类比研究不等式的性质.

      【设计意图】引导学生从知识和数学思想方法两方面总结自己的收获，把握本节课的核心知识和内容——不等式的概念及不等式解集的概念，体会类比思想在研究数学问题中的作用，进一步发展学生的数学思维.研究型作业（作业2）为研究不等式性质做准备，通过类比研究等式性质，提升学生自主探究的能力.

      六、目标检测设计

      1.用不等式表示：

      （1）a是负数；

      （2）a与5的和不小于7；

      （3）y的一半小于3；

      （4）y与1的差不大于0.

      【设计意图】检测各类不等号的使用，用不等式表示简单的数量关系.

      2.下列数值中哪些是不等式2x+3＞9的解？哪些不是？

      -4，-2，0，3，3.01，4，6，100

      【设计意图】检测不等式解的概念，会通过计算判断不等式的解.

      3.写出不等式的解集，并在数轴上表示出来：

      （1）x+2＞6；

      （2）x-2＞0.1；

      （3）2x＜10；

      （4）-2x＜10.

      【设计意图】检测对不等式解集的概念的理解，会表示不等式的解集.

      1.（1）a＜0；

      （2）a+5≥7；

      （3）

＜3；

      （4）y-1≤0.

      2.3.01，4，6，100是不等式2x+3＞9的解，-4，-2，0，3不是不等式2x+3＞9的解.

      3.（1）x＞4；

      （2）x＞2.1；

      （3）x＜5；

      （4）x＞-5.

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