“猜想”应用于教学的问题与对策，本文主要内容关键词为：应用于论文,对策论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
科学家牛顿说过：没有大量的猜想，就做不出伟大的发现.在如今的数学课堂上，教师教学观念的转变确实带来了课堂学习方式的重大变革，学生的主体作用更加凸显，很多学习内容不再是老师教授灌输，而是让学生自主体验发现.我们发现除“探索规律”系列的教学内容以外，一些运算法则、运算律以及图形的特征、计算公式等等，都有“猜想—验证—结论—应用”这种教学模式的运用渗透，而且不夸张地说，这种模式几乎成为一种教学常态.然而面对这样一种随处可见的“猜想课堂”，我们还是发现了一些值得思考探讨的问题.因此本文将从数学猜想的意义、教学中存在的问题与策略跟进等方面阐述相关的思考与实践. 一、数学猜想的内涵意蕴 猜想，顾名思义，就是一种不确定的猜测或预见.而数学猜想，是与数学相关的猜想，简单地说，就是人们既不能肯定也不能否定的数学预见.具体而言，数学猜想是根据某些已知的事实材料和数学知识，从具体问题、具体素材出发，通过理论思维的能动作用（如采用归纳类比的方法、经过联想等），对某些特定的问题及其关系作出一种假设性的预见或论断.显然，随心所欲地胡猜乱想得到的结论不能称为“数学猜想”.数学猜想通常是应用类比、归纳的方法提出的，或者是在灵感、直觉中闪现出来的.数学猜想有的被验证为是正确的（如费马猜想、卡塔兰猜想、庞加莱猜想等），并成为定理；有的被验证为错误的（如欧拉猜想、冯·诺伊曼猜想等）；还有一些正在验证过程中（如黎曼假设、周氏猜测、孪生素数猜想、哥德巴赫猜想等）.所以应当说，猜想可能是正确的，也可能是错误的，到底是正确还是错误，需要通过严谨的论证才能知道.它有几点特征：（1）数学猜想是尚且不能确定的；（2）数学猜想是需要一定基础的；（3）数学猜想是具有方法可循的. 因此，在数学教学中，教师要尽可能地用好猜想，使之服务于课堂教学，因为：（1）数学猜想是激发主动学习的重要起点.在解决问题的过程中，猜想往往是激发学生主动学习、积极探究的起点.（2）数学猜想是数学思维发展的重要载体.就小学数学学习而言，数学猜想主要是应用类比、归纳的方法提出的，当然有时是在灵感、直觉中闪现出来的.因此数学猜想形成的过程，就是基于一定数学事实或数学经验的数学思维过程.（3）数学猜想是激发数学创造的重要因素.大胆的数学假设或方法预想，往往就是学生主动学习的开端，是学生创造创新素养特质的外显. 二、教学中进行猜想的常见问题 在众多的课例观察分析中，我们发现老师对数学猜想的理解与操作实践还存在一定的误区，因此在进行教学设计与活动组织的时候，势必暴露出一些令人深思的问题. 1.猜想依托基础薄弱 （1）缺乏关联性.我们知道，数学猜想的形成有一定的依据，如依据某些已知的事实材料，或已有的数学基础知识等.但老师往往没有为学生提供猜想的事实材料，也勉为其难地鼓励学生猜想.比如有位老师执教“一张纸最多能折多少次”的数学实验课，课堂伊始的引入问题是：大家都玩过折纸游戏吧，那你猜一猜一张纸最多能折多少次呢？问题基于现实似乎很亲和，学生也很兴奋，可是学生猜了十多次还未叫停.课后咨询执教老师意图，原来学生猜的次数要么四五次，要么十多次甚至二十次，偏离了预设的七八次，所以一直在等待预设答案出现.由此我们不难发现，生活经验与学生猜想之间缺乏关联性，第一，有些学生没有折纸的事实依据；第二，即使有折纸经验体会，但也没有刻意关注过对折次数情况，因此要有预期数据的出现是不太现实的.那么这样的猜想显然是无源之水、无根之木，只能是一种胡猜乱想了.当然如果作为一种与最后验证结果构成差异悬殊的震撼效果，那未尝不可，但猜个3～5次也足够了，又何须苦等预设中的答案. （2）缺乏类别性.有些教师举一个例子便要求学生猜想其中存在的规律特点.如有位年轻老师在学生学习一个数的倍数概念后，让学生写了一个4的倍数，之后就让学生猜一猜：一个数的倍数有什么特点？学生很是茫然，不知所措.幸好这位老师还算机灵，又板书补充了两个数的倍数，这样就有了三个数的观察基础，学生的猜想就有了方向有了依托.之后再让学生自主举例验证也就指向明确，学生也豁然开朗.由此可见，开始之所以学生很茫然，是因为“一个数的倍数有什么特点？”这个猜想性问题出现过早了.其实就学生的认知而言，一个数是虚指的，只有一个数怎么猜想呢？共性特点只有在一类数的观察比较中才能发现.这种猜想性的问题明显缺乏了数学归纳的事实基础.同样我们在教学商不变的性质、分数的基本性质、比的基本性质的过程中，基本都是以一些个例的观察引发猜想进而验证的.类别的思想更是要及早渗透，因为这里乘以或除以的“相同的数”看不见摸不着，有了类别（整数、小数与分数等，乃至特殊数）的意识，学生的猜想才会更合理，论证的过程也会更严谨. 2.猜想有违数理逻辑 （1）循环性失误.在教学过程中，我们也发现有些数学猜想不符合数学认知逻辑，是伪数学的猜想. 比如二年级有余数的除法，教师在学生练完三个除法竖式后，请学生思考：观察这两个竖式中的余数和除数，你有什么发现？学生自然一猜即中：余数比除数小.然后教师继续提问：这两个例子还不能说明问题，只能是你的一种猜想，你还能找到不同的例子来验证吗？于是学生又列举了几个竖式的计算，最后得出了结论.乍看并没有什么问题，低年级老师就能渗透“猜想—验证—结论”这样的教学模式，很有自己的思考.但再仔细推敲，我们发现，其实开始的三个观察例子学生不是已经在运用“余数比除数小”的规律在计算了吗？怎么还要在会用的基础上去观察比较发现规律呢？从数理逻辑而言就是循环论证.如果真要学生自主探究发现这个规律或运算规则，我们的设计就该这样变动：拿出10支分3人，边分边想：第一次每人分后余了几支？还要继续往下分吗？第二次、第三次呢？分完后共同讨论：比较每次分后余下的铅笔数与人数，你有什么发现？很自然地得出——只有余下的支数不够分时（比人数少）才算分完了，也就证明了“余数必须小于除数”.所以在有余数的除法中“余数比除数小”这个规则的教学，由竖式比较观察引发猜想，再举例验证得到结论的过程是不合数理逻辑的，我们不能为了彰显所谓的教学理念而盲目地生搬硬套. （2）聚力点失当.比如三年级下册“有趣的乘法”一课，有位老师首先花了较长时间让学生用竖式计算24×11、53×11、62×11三个乘式，然后观察比较计算结果看有什么发现.当学生把自己的发现也即猜想“首尾照抄下来，中间两数相加”表达之后，这位老师又让学生再自主举出不同竖式计算的例子验证自己的发现（以致后续另一种更难的“头同尾合十”的规律研究没来得及进行）.看上去是沿着归纳法的思路进行验证猜想的教学过程，但实际上回过来分析教学过程，可发现教师对归纳的聚力点安排不当，从归纳的角度而言，不需要学生竖式计算每一道题目，起始三题只要进行教师口算与学生用计算器计算的比赛：看哪个算得快又准.在有震撼效果的情况下激发学生观察横式猜想巧算方法的兴趣.然后再举更多的例子验证，而且仍然只需要计算器计算就可以了，当然可以自主选择1～2个例子进行竖式计算，而非所有.如果教师想让学生更深入地理解剖析算理，那只需要选择其中一个例子列出竖式研究就可以，因为用竖式计算验证就属于演绎法的验证猜想，无需更多的例子.所以验证方式的失当影响了教学效果，也影响了整节课的推进节奏，更没有时间进行混合11乘两位数与“头同尾合十”不同类型计算结果的直觉性练习. （3）严谨性缺失.不管多好多有创意的猜想，只要有一个反例，就可以说明猜想是错误的.但有些课堂教学，一些教师由于思维方式的问题，引导学生举例验证时候，往往都是直奔正向例子.比如有同学猜测“一个数的平方一定大于等于这个数的2倍”，很多学生都会附和，原因是他们习惯于举出一些正面验证的例子，心里想的往往是稍大的整数，忽略小数范畴.追根究底这是由教学忽视引导学生思考数的分类，尤其是特殊数0、1等代入推理的情况，即忽略寻找反例的思考探究习惯所造成的.因此造成了学生思考严谨性的缺失. 3.猜想暗示局限视域 数学课堂离不开有挑战性的学习困难，离不开有认知冲突的问题设置.然而有些数学的猜想课堂，教师意图基于学生认知基础引发学生对新知的先期猜想，继而激发学生强烈的探究欲望.但鲜明的猜想暗示往往剥夺了学生自主思考探索的时空.比如六上“长方体和正方体的认识”的课堂教学中，虽然学生带来了形状不一的长方体、正方体实物，但教师在讲台上呈现的三组相对面同色的长方体模型、三组相对棱同色的长方体框架，使学生在对面、棱、顶点整体数量感知后，后续深入研究对长方体面的特点（有三组相对的面，每组2个面完全相同）与棱的特点（有三组相对的棱，每组4条棱长度相等）“一猜即中”，数学猜想的思考探究空间无形中被削弱了.不仅如此，其实由面到体，学生探究的时空还可以更加发散，如激发学生猜想棱的位置关系、面的位置关系等，但由于教材的基础性要求的局限，教师对学生的猜想内容没有进行更宽泛的引领激励，仍是停留于教材的要求，即面的大小关系、棱的长短关系，以至于认知方式方法停留于二维平面层面.局限了学生猜想与后续研究验证的视域，不利于中小学数学思维与学习方式的自然衔接. 4.猜想表达方式单一 小学阶段的数学猜想方法主要体现为归纳性猜想与类比性猜想.猜想本身是初始的思考发现，不一定完善，因此通过初步的观察比较或计算推理得到的猜想不一定完全一致，可能存在个性化表达方式的差异.有些教师对学生的猜想或猜想后的结论呈现过分拘泥于中文表达形式，比如加法结合律，一定要学生说出“三个数相加，先将前两个数相加，再加第三个数，或者先将后两个数相加，再加第一个数，它们的和不变，这叫加法结合律”这样单一指向中文句式的表达，既繁琐冗长又不讨学生喜欢，还局限了学生风格各异的思维特点与表达方式，不利于学生智慧的争鸣与分享.其实学生基于已有的生活经验或认知基础，他们很自然会产生用字母或三角形、五角星等简单符号进行表达，这样简洁美观而有创意的呈现是数学理性思考的最高境界，但却在每一个看似严格严谨的日常教学中被抹杀了，从而也就在无意中遏制了如代数学之父韦达之类创造性人才的诞生. 三、教学中引入猜想的对策 猜想数学学习中最有创造性的成分，是课堂上学生智慧闪光的聚焦点.因此如何更好地围绕上述问题，调整改善教学方式，让学生在解决数学问题的过程中大胆猜想、积极求证，让思维思想的翅膀在广阔天宇舒展飞翔，我们有必要从以下几方面进行积极的实践探索. 1.提供充分的数学事实，让猜想植根于真切体验 猜想应基于一定的数学事实，而数学事实不能过于单薄，尤其是内涵丰富且理解有一定难度的规律性等的探究.比如四年级运算律的教学，其中乘法分配律的教学相对有一定的难度，如果只是基于课本提供的“求四、五年级一共要领多少根跳绳”这一个问题引发的等式，显然素材过于单薄.为此，教师在引发学生猜想时不能只停留于课本例题所得出的一个等式“（6+4）×24=6×24+4×24”，还可以结合学生认知基础，创造性地增加用两种方法求解长方形周长、几套课桌椅总价的现实性问题，通过数量关系的分析，三个等式异同点的观察比较，让学生充分意会数学等式的得出缘于丰富的现实素材，数学规律的探究也是基于现实生活的抽象归纳.因而此时的猜想也有了基于内涵思考的丰厚基础，猜想便是有缘之木、有源之水.而后续学生进一步举例说明规律（是否所有具有这样特点的两个算式都存在这样的规律呢？）时，就有学生自然而然联想到，具有这样特征的式子数不胜数，自动把具体的数据等式抽象为字母等式（a+b）×c=a×c+b×c.甚至提升到乘法意义的角度进行理性诠释（a+b）个c就是a个c加上b个c，反之a个c加上b个c就是（a+b）个c.可见随着年级的升高，基于适当补充事实而经历数学构造的猜想将更合理完善，基于丰富感性认识基础上的自我建构也将更深刻. 2.把握数学内涵本质，让学生感悟猜想方法 数学猜想具有一定规律，并且要以数学知识和经验为支柱.通常猜想的方法途径有类比、归纳、构造、联想、审美以及它们之间的组合等，在小学数学教学中，常用的数学猜想有类比性猜想、归纳性猜想. 类比思维是从两个对象在某些方面的相似关系中受到启发，从而使问题得到解决的一种创造性思维.哲学家康德就曾说过：每当理智缺乏可靠论证的思路时，类比这个方法往往能指引我们前进.而类比猜想即是从特殊到特殊的一种猜测、推理.例如教学了加法交换律与加法结合律，紧随着就进行了乘法交换律与乘法结合律的教学.加法与乘法有着紧密的联系，教材这样的编排是基于知识间的内在逻辑关系.但教材对后两个运算律的教学，仍然是一个一个展开的，且都是从解决实际问题出发，引导得出等式，再由观察比较更多的例子，归纳概括出规律.这一过程似乎比加法运算律的推导有了些递进（前面是课本提供其他例子，这是让学生自己举例……），但实际上还显示出一些方法策略、思维水平的重复，没有本质的提升.因此本课的教学可以大胆进行重构，即尊重学生已有的认知水平和教材主体意图，相信学生具有进行类比性猜想进而自主举例验证得出结论的能力，所以，可以提供充分留白的包括“提出猜想、举例验证（含反例研究）、得出结论”的自组织研究单，将两个运算律的研究从整体“结构化”层面同时推进.这样的设计体现了学生进行类比猜想的可能性，从猜想、验证到得出结论全权放给学生，将学习探究自主权交还于学生. 归纳性猜想的教学内容在教材中的比例相对较大，它是学生推理能力的基础，更多表现为合情推理的形式.这类问题的呈现，往往是根据题目中的图形、数字或算式，分析归纳，直观地发现共同特征，或者发展变化的趋势，据此去预测猜想它的规律或者其他相关结论，使带有猜想性质的推断尽可能与现实情况相吻合，必要时可以进行验证或者证明，以此体现出猜想的实际意义.例如苏教版五年级上册的“用字母表示数”第二课时，虽说代数求值是其重要内容，但对于问题“增加三角形个数和共用小棒的根数有什么关系”，我们认为引导学生进行规律的归纳性猜想尤为重要（建议把问题改成：三角形个数和共用小棒的根数有什么关系？表格“增加的三角形个数”相应调整为“三角形的个数”）.教学时老师要引导学生善于从所提供的数字或图形信息中，寻找其共同之处（一般至少例举研究三个代表性的数式特点）.并将这个存在于个例中的共性引申为对规律的猜想，继续验证，直至得出结论并应用规律.其中蕴含着“特殊—一般—特殊”的常用合情推理模式，体现了总结归纳的数学思想，这也正是人类认识新生事物的一般过程，具有广泛的迁移作用. 3.创设思考探索时空，让猜想逐步逼近事实 数学的猜想课堂，很多时候学生一猜即中，没有什么悬念，也不具挑战性.课堂的趣味性与可回味性都因缺失而有所遗憾.其实很多时候，我们可以留点悬念，让学生有一定的猜想方向，并使猜想的范围更广些，不妨“让猜想多飞一会儿”，那么课堂的思考探索韵味也就更为浓郁了.如特级教师朱乐平在“两位数乘法练习课”核心环节设置了“回文激趣引发猜想、寻找反例辨析猜想、深入探究完善猜想”三个部分，让学生经历“提出猜想、举例验证、得出结论”的过程，让枯燥的计算课因为融入思考探究的成分而变得生动有趣.尤其值得推崇的是朱老师引导学生进行猜想的过程，不是一蹴而就、一猜即中，而是一波三折，从12×42与24×21等几个正例计算引发猜想“任意的两个两位数相乘，从左往右读和从右往左读得到的两个算式的积相等.”→找到反例调整猜想“任意的两个两位数相乘，有些算式从左往右读和从右往左读得到的两个算式的积相等，有些不相等.”→比较正例与反例完善猜想“十位乘积等于个位乘积的两个两位数相乘，从左往右读和从右往左读得到的两个算式的积相等.”经历了不断试误不断调整完善的过程逐步逼近数学事实，使得这一课充满思维张力，富有挑战性和趣味性. 4.科学推进猜想验证，让过程彰显数理逻辑 学生学习数学，不只是要记住数学的某些规律与结论性的东西，更重要的是在学习数学的过程中领悟数学的思想和方法，积累数学活动的经验，让学生在此刻的学习活动以及后续更广泛的迁移运用中体会到数学学习的成功与快乐.因此“猜想”课堂的学习不只是经历此一课、记住此一刻的规律，更是丰实学生猜想验证的过程，科学地凸显数理内在逻辑，让学生后续的学习更给力. 比如苏教版五年级下册“解决问题的策略——转化”一课对于例2中二分之一加四分之一等的教学，大多数老师停留于学生能基于数形结合理解算理算法，并将算法优化为“1减去最后一个加数”的方法计算.然而这个方法其实只适用从二分之一加起的“每后一个分母是前一个分母2倍、分子是1的连加算式的和”这一个特例，对第一个加数不是从二分之一加起，而是从四分之一或八分之一加起的情况，或者变成三分之一加六分之一等情况（分母是3的2、4、8倍），这个“1减去最后一个加数”的方法就是错误的.也就是说，停留于一个习题的研究得到一个结论这一教学过程是经不起推敲的，也是不符合数理逻辑的，更不符合一般的科学探究方法.为此我们要引导学生将例2的方法“每后一个分母是前一个分数分母的2倍、分子是1的连加算式的和，只要将1减去最后一个加数”作为猜想，引发学生对分母是3、6、12……其他分母外延更宽泛情况的规律的思考探究，或者加数不是从二分之一或三分之一开始的变式情况的深入探究.而此刻让学生继续经历画画比比的数形结合的探究过程也就显得格外重要，这个过程的充分经历使学生猜想验证的过程更为丰厚生动，更能直观具象化地促进学生对算理与算法的理解内化.这样不断递进的猜想验证过程不仅让学生学会解决某一道题，更重要的是能让他们找到解决一类题的方法与规律，尤其是更上位的类比归纳性研究方法.并且因此修正得到更为科学完善的结论（亦是新一轮猜想）：“计算每后一个分母是前一个分数分母的2倍、分子是1的连加算式的和，只要将第一个加数的2倍减去最后一个加数.”事实上这样的猜想验证过程更符合数学教学内在的数理逻辑，不仅使“数”与“形”各展其长，实现抽象逻辑思维与具体形象思维完美地统一，也更高层次地实现了数学活动经验与思想方法建构以及后续“整体性”“结构性”地迁移运用.