《全日制普通高级中学教科书（必修）#183;数学》第一册（上）第三章“数列”的结构特点和教学体会，本文主要内容关键词为：数列论文,第三章论文,高级中学论文,教科书论文,第一册论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
一、教学地位不容置疑
数列内容没有被削减，这是由它的地位所决定的.
1.知识和方法的汇合点
数列在整个中学数学教学内容中，处于一个知识汇合点的地位，很多知识都与数列有着密切的联系.以前学过的数、式、方程、函数、简易逻辑等知识在本章都有较为广泛的应用.可以这样说，新教材采用将代数、几何打通的混编体系的主要目的是强化数学知识的内在联系，而数列在沟通知识这方面有着天然的优越性.
2.较为广泛的实际应用
数列，特别是等差数列和等比数列，有着较为广泛的实际应用.例如，我国已颁布的供各种生产部门设计产品尺寸用的国家标准，就是按等比数列对产品尺寸进行分级的；再如按揭购房已进入老百姓的日常生活领域，其中也要用到数列的知识.
3.便于思维的综合训练
不少关于恒等变形、解方程组、解不等式以及一些带有综合性的数学问题都与等差数列、等比数列有关，学习本章便于对学生进行思维综合训练，有助于培养学生综合运用知识解决问题的能力.
二、数列与数学归纳法、极限分离，合情合理
1.变得简单易学
从知识内容上看，这样使数列这部分内容变得简单易学.它体现了新教材的改革精神：面向全体学生，促进全面发展.
2.可以复习深化
由于数列这部分知识与以前所学的许多知识具有较强的联系，所以它对初中所学知识能起到及时复习和不断深化的作用（如方程和方程组）.
3.做到及时联系
由于数列本身是一种特殊函数，把数列安排在第二章函数之后来学习，既有利于用函数的观点来认识数列的本质，也有利于加深和巩固对函数概念的理解.
三、教材结构的十大变化
本章内容主要包括数列、等差数列、等比数列和研究性课题四个部分.在数列这一部分里，主要介绍以下内容.
1.数列的概念、分类
关于数列的概念，先给出一个描述性定义：“像上面的例子中，按一定次序排列的一列数叫做数列.”然后在此基础上给出一个在映射、函数观点下的定义，指出“从映射、函数的观点看，数列可以看作是一个定义域为正整数集N*（或它的有限子集｛1，2，…，n｝）的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，而数列的通项公式也就是相应函数的解析式”，这与原教材的定义相比较多了首尾两句话，这两句话可以说是画龙点睛.新教材对数列概念阐述更为紧凑、鲜明：描述性定义→数列记法及通项公式→函数观点下的定义→数列的图象表示，这样编排可以将数列与函数紧密联系起来，既可以加深对数列概念的理解，又有助于运用函数的观点去研究数列.
这是新教材的重要变动之一：给出映射、函数观点下的数列定义.
2.给出数列的方法
第一种方法：通过数列的通项公式.新教材已明确指出它就是相应函数的解析式.这样一语道破，数列与函数的内在联系揭示得更加清楚了.此外，正如并非每一个函数均有解析式一样，也并非每一无穷数列均有通项公式（有通项公式的无穷数列只是少数），因而研究递推公式给出数列的方法可使我们研究数列的范围大大扩展.
第二种方法：通过数列的递推公式.我们知道，递推是数学中一个非常重要的概念和方法.在数列的研究中，不仅很多重要的数列是用递推公式给出的，而且递推也是获得一个数列的通项公式的途径，先得出数列较为容易写出的递推公式，然后再根据它推得通项公式.因此新教材不再“犹抱琵琶半遮面”，而是明明白白地说：“如果已知数列｛a[，n]｝的第1项（或前几项），且任一项a[，n]与它的前一项a[，n-1]，（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的递推公式.”但对这项内容，教学中应把握好要求：“能初步体会用递推方法给出数列的思想，能根据递推公式写出一个数列的前几项.”
这是新教材的重要变动之二：明确给出“递推公式”的概念.
第二部分是等差数列，在讲解等差数列的概念时，突出了以下几方面.
1.突出了“从特殊到一般”过程中的归纳
观察数列共同特点由原来的一个数列增加到三个数列，并强调指出它们具有“从第二项起，每项与前一项的差都等于同一常数”这样的共同特点，由归纳法得到等差数列的通项公式时，增加了一段话：“当n=1时，上面等式两边均为a[，1]，即等式也是成立的，这表明当n∈N*时上面等式都成立，因而它就是等差数列｛a[，n]｝的通项公式.”这样说比过去更严密了.
这是新教材的重要变动之三；指出归纳出的等差数列通项公式当n=1时也成立.
2.突出了与一次函数的联系
对数列｛a[，n]｝=｛2n-1｝，原教材说法是：“从图中看到，表示这个等差数列的点都在同一直线y=2x-1上.”现改为“相应的图象是直线y=2x-1上的均匀排开的无穷多个孤立点，如图所示”.这样就突出了联系，便于利用一次函数的知识来认识等差数列的性质.例如从图象上看，两项可以决定一个等差数列相应于两点可以决定一条直线；a[，n]-a[，m]=（n-m）d相应于直线的斜率公式.
3.突出了等差数列的对称性质
在推导等差数列前n项和公式时，新教材放弃“这堆钢管的旁边堆放同样一堆钢管”的方法，而是由高斯的速算故事引发出等差数列的“任意的第k项与倒数的第k项的和都等于首项与末项之和”性质，从而顺水推舟用“倒序法”推导出公式.这样不仅突出了等差数列的“对称性”，而且也能够增加课堂的文化氛围，使课堂教学更充满生机活力.
4.突出了等差数列知识的应用
教材在本部分的最后还安排了一篇“阅读材料”——有关储蓄的计算.
第三部分是等比数列，在讲等比数列的概念时，新教材补充说明“公比q≠0”，突出了概念的完整性；在介绍等比中项概念时添加“与等差数列概念类似”，突出等差数列与等比数列知识的平行性；在给出“G是a与b的等比中项，则G=
等比中项”，突出了数学语言的严谨性.
这是新教材的重要变动之四：强调等比数列的概念“与等差数列的概念类似”.
另外，对“国王与国际象棋”故事的悬念解决引发出等比数列前n项和的公式，同样令人耳目一新；删去公比为10的有理数幂的等比数列例题，实在是为了削枝强干.
第四部分是研究性学习课题——分期付款中的有关计算.
研究性学习课题，主要是指对某些数学问题的深入探讨，或者从数学角度对某些日常生活中和其他学科中出现的问题进行研究.按照大纲的规定，高中新教材增设了“研究性学习课题”的四个参考课题，其中数列在分期付款中的应用是第一个研究性学习课题.
对新教材的特点我们可从以下三个方面去认识.
1.在例题、习题设计上
（1）更具有针对性和层次性
为便于知识巩固和教学目标的检测，将原教材中的习题（习题十七、十八）和复习参考题六分解为五组习题（3.1、3.2、3.3、3.4、3.5）和复习参考题A组和B组，这样既保证了学生对所学知识消化的及时性和针对性，同时还可充分利用带*号的习题和B组题，以保证学有余力的学生加深和拓宽知识.
（2）加强了知识的应用
新教材在基本保留原教材应用题的基础上，适当增加了四个方面的应用题：
①现代人们日常生活有关的购物分期付款问题；
②“阅读材料”里介绍了有关储蓄的一些计算；
③房屋拆建规划；
④绕在圆盘上的线的长度.
（3）适当改变了问题的表达形式.
在例、习题的表述方面，适当配备了一些采用疑问形式的题，以增加问题的思考启发成分.如原例题：“等差数列-5，-9，-13，…的第几项是-401？”改编为3.2的例1（2）“-401是不是等差数列-5，-9，-13，…的项？如果是，是第几项？”再如3.3例4原是一道证明题，现将它改为：“已知数列的通项公式为a[，n]=pn+q，其中p、q是常数，且p≠0，那么这个数列是否一定是等差数列？如果是，其首项与公差是什么？”又如，将一道证明题改用了疑问形式表述：“如果一个数列既是等差数列，又是等比数列，这个数列有什么特点？”这就是复习参考题三A组第15题，这样就增强了问题的思考功能.
这是新教材重要变动之五：适当配备了采用疑问形式的例题、习题.
（4）增加了探究性习题
新教材的习题中有意安排了一些具有探索性质的习题，让学生通过学习、总结和探究，挖掘出具有较深层次的知识，从而丰富知识内容，完善知识结构.
例如3.2中练习题第3题：已知一个无穷等差数列的首项为a[，1]，公差为d.
①将数列中的前m项去掉，其余各项组成一个新的数列，这个新数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是多少？
②将数列中的所有奇数项，组成一个新的数列，这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是多少？
③取出数列中所有项数为7的倍数的各项，组成一个新的数列，这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差各是多少？
又如习题3.4中第10题：“已知｛a[，n]｝是等比数列，（1）a[，5][2]=a[，3]·a[，7]是否成立？a[，5][2]=a[，1]·a[，9]是否成立？（2）a[，n][2]=a[，n-2]·a[，n+2]（n＞2）是否成立？a[，n][2]=a[，n-k]·a[，n+k]（n＞k＞0）是否成立？”这种递进式的问题结构，从特殊到一般的发现过程，能够促使学生的探索和发现不断地展开和深入，而研究的进程又是一般思维方法、规律的渗透过程，是对能力素质的训练过程.紧接着的第11题：“已知a、b是互异的正数，A是a、b的等差中项，G是a、b的等比中项，A与G有无确定的大小关系？”本题与上题相比有了更强的探索性，而两题的共同特点是通过探索性问题让学生自主发现一般性的规律，与旧教材中的结论式结构相比，改变是明显的，它对教学有着更好的导向作用.再如习题3.2中第10、11小题，习题3.3第10题，练习3.4第3题等等，通过对这些练习题、习题的研究解决，实质上就可以总结出等差、等比数列的一系列相关性质.
这是新教材的重要变动之六：增加了许多探究性习题.
（5）渗透了一些重要的数学思想方法
由于本章处在知识交汇点的地位，所蕴涵的数学思想较丰富，新教材在这方面也做了充分挖掘.
①函数的观点
新教材很注意从函数的观点去看数列，在这种整体的、动态的观点之下使数列的一些性质显现得更加清楚，某些问题也能得到更好的解决.
如复习题参考题B组第2题：“已知数列的通项公式为a[，n]=n[2]-10n+10，这个数列从第几项起各项的数值逐渐增大？从第几项起各项的数值均为正数？数列中是否还存在数值与首项相同的项？”
这是新教材的重要变动之七：加强了数列与函数的联系，明确了利用函数的图象和性质可解决数列的一系列问题.
②方程或方程组的思想
这种思想在新教材中体现得较为充分，不少的例题、习题均属下述模式：已知数列满足某某条件，求这个数列.这类问题一般都要通过列出方程或方程组，然后求解.
③递推的思想方法
2.在启迪学生的思维上
本章内容是培养学生观察问题、分析问题和解决问题的好素材，新教材充分注意到了这一点.
（1）制造悬念
在问题的提出和概念的引入方面，为了引起学生的学习兴趣，在“引言”里用了一个有关国际象棋棋盘的古代传说作为引入的例子.它用一个涉及求等比数列的前n项和的麦粒数的计算问题给学生造成一个不学本章知识就难获问题答案的悬念.
（2）激发兴趣
讲等差数列前n项和的公式时，没有像旧教材那样平铺直叙地推导公式，而是先提出问题“1+2+3+…+100=？”并指出高斯10岁时便很快算出了它的结果，以激发学生的求解热情，然后让学生在观察高斯算法的基础上，发现等差数列的一个对称性质，从而为顺利地推导等差数列的求和公式铺平道路.
这是新教材的重要变动之八：运用传说、故事制造问题悬念，激发学生兴趣，丰富数学文化.
（3）点拨思路
在讲有些例题时，加了一小段“分析”，通过不多的几句话点明解题的思路.如3.2例4加的一段“分析”是：由等差数列定义，要判定｛a[，n]｝是不是等差数列，只要看a[，n]-a[，n-1]，（n≥2）是不是一个与n无关的常数就行了.寥寥数语，突出了“从定义出发”这个最基本的证明方法.有这样“分析”的例题，在新教材中还有数个.
这是新教材的重要变动之九：改变“例题+解答”的老面孔，必要时增加一小段“分析”，点拨好思路.
3.在推理论证的训练上
原教材的例、习题的设计，主要强调计算，要求学生能根据有关公式求数列的项与它的前n项和，而新教材则更加重视学生逻辑思维能力的培养.
如3.3中的例4：“已知一个等差数列的前10项和是310，前20项之和是1220，由此可以确定求其前n项和的公式吗？”又如3.4中例3：“已知｛a[，n]｝｛b[，n]｝是项数相同的等比数列，求证｛a[，n]b[，n]｝是等比数列”.特别是“复习与小结”里的例1虽是原教材中等差数列求和公式一节里的例6，但在表述上采用了“充要条件”的说法：“求证：在直角三角形中，三条边的长成等差数列的充要条件是它们的比为3∶4∶5”，而且从正反面进行证明时采用了“必要性、充分性”的说法，同时在新教材正文讲述中也注意与前面的逻辑知识相呼应.又如在讲等差数列的相邻三项的性质时，安排了“想一想：A=（a+b）/2是a、A、b成等差数列的充要条件吗？”这实际上是将原先的结论换成了“充要条件”的说法，试图通过这样的做法增加对前面所学简易逻辑概念的复习和应用的机会，以达到加深理解的目的.
这是新教材重要变动之十：加强和提高逻辑推理能力的训练和要求.
四、教学方法七条经验
1.重视“章头图”“阅读材料”的作用
新教材在本章开头，配备了“章头图”及相关的文字说明，从中提供了本章知识提出的实际背景，而正文正是从这个实际背景引入概念，提出问题，从而激发学生的求知欲望，调动学生学习的积极性和主动性.新教材在学完等差数列后又安排了“阅读材料”，学生通过运用所学知识对“材料”中所提供的实际问题的解决，培养了分析问题和解决问题的能力.教师在教学中要深刻理解编写意图，做到理论联系实际，增强学数学、用数学的意识，促进学生从“知识型”向“能力型”的转变.
2.有意识地复习和深化初中所学内容
新教材课时安排较紧，教学内容基本上直线编排，对初中所学知识在高中没有系统深入复习，同时本章内容距离初中数学较近，与初中联系面广，因此，教学中应注意沟通初高中知识的联系.例如，在等差、等比数列的通项公式与前n项和的公式中，涉及a[，1]，a[，n]，n、d（或q）、S[，n]五个量之间的关系，我们常常要通过公式变形，用其中的已知量来表示未知量，在这个过程中，应有意识地复习等式的变形，提醒并及时纠正在变形中出现的各种错误.根据有关公式和已知条件求未知量的问题，实际上就是解方程或方程组的问题，但要分析其中哪些是已知量、未知量，有几个未知量，能不能求解、怎样求解.通过这种有意识的分析，不仅复习了方程和方程组的知识，而且还体会了它们的应用，培养了学生用方程或方程组知识解决问题的能力.
3.适当加强本章内容与函数的联系
由于数列与函数的联系较为紧密，因此，对本章内容的教学中，合理地联系函数知识，对正确理解有关概念和解决某些问题是很有好处的.
4.加强知识类比，突出等差、等比数列的基本特征
等差数列和等比数列在内容上是完全平行的，包括它们的定义、性质（等差还是等比），通项公式、前n项和的公式、两个数的等差（等比）中项等，因此在教学或复习中可采用类比的方法，弄清它们之间的联系与区别.
5.注意培养学生初步综合运用观察、归纳、猜想、验证等方法的能力
在本章教学中要自觉地运用从特殊到一般，再从一般到特殊的思想方法.通过具体的观察、验证等方法去发现数列问题中项与项的序号的对应规律，后一项与前一项的相互联系.另外在应用数列解决实际问题时，既要有缜密的数学思维，又要有主动探究、敢于猜想的创新精神，本章教学要抓住这一契机.
6.注重研究解题教学，努力争取“以少胜多”
问题是数学的心脏，解题是教学的关键.为此我们要加强对习题背景的揭示，暴露问题的形成过程；要提供更多的思维时空；要重视对习题的深化、延伸；要揭示习题间的内在联系；要重视对习题中蕴涵的思想方法的提炼.
7.提供更多的实践活动和交流机会
由于探索性、开放性问题的增加，也由于与社会生活联系的加强，给学生进行实践性研究提供了更多的机会，我们不能因片面追求教学进度而削弱这一过程，实践能力、活动能力和交流能力是学生能力素质中最薄弱的一环，必须加强培养.结合新教材进行这样的实践是一个值得研究的课题.
五、新旧对比值得回味
以下是原教材中没有、现教材中新增的三道题目，值得我们研究.
1.复习参考题三B组第5题
样做可使学生逐步学会从特殊到一般的发现方法，提高创造性思维能力.