新理念 新设计——谈等比数列的应用案例的设计和实践，本文主要内容关键词为：等比数列论文,新理念论文,案例论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
笔者学习了《高中新课程标准》，根据新课标的精神，进行“自相似形中的等比数列问题”的教学设计和实践，供同行切磋探讨.
课堂实录
T：同学们，我们常用的复印纸有几种呀？
S：A4，B5，16开，32开等等.
T：对.我们今天就从这开始谈谈数列的一些应用.
展开A4纸，A4纸的长宽为多少知道吗？长宽比是多少？
一阵讨论.
T：看看Word中的页面设置，大家就清楚了，它的宽、长分别为21cm，29.7cm（老师演示，从Word的文件菜单下拉，点击页面设置）.
再来看一下长宽之比为多少？
用几何画板测量功能即可知，29.7/21=1.41429，也就是长宽之比为
（信息技术的应用与数学教学有机有效地结合起来，起到辅助的作用）.
接着大家考虑一下将A4沿长边对折，那是几开（什么规格）的纸呀？
S：……（学生茫然，暴露出对一些常识的欠缺，对生活中一些现象的熟视无睹.）
T：是A5，（拿出A5规格的数学书）它就是A5的.
A4和A5有数学上的关系吗？
S：（脱口而出）相似.
T：为何？请大家说一说.
S：如图1，如果相似，
与A4纸的特性一致.
T：再对折，是什么规格的纸呀？
S：A6.
T：A5和A6容易看出也是相似的，A6也是用来设计书的一种规格（展示一本数学书的样例）看来书的设计都很有数学味道（学生会意地笑了）.
再对折呢？……如此这般对折，当然可以得到一系列的相似长方形，一般来说，常用A系列的纸的规格如下表：
mmA2
594×421A3
421×297A4
297×210A5
210×148A6
148×105A7
105×74
（我们的教学不仅要让学生学知识，还要让学生长见识.）
本例中将一张纸对折成为一组相似的长方形，它们局部和整体之间存在着相似性.这种相似性也称为自相似性，从本例可以看到自相似形与等比数列的知识有密切的联系.
还有一种矩形也是很优美的，大家能说出它的图形吗？
S：长宽比为黄金分割比的矩形.
T：双折之后也是相似形吗？
（安静片刻）
S：不是，根据上例知，对折之后相似矩形的长宽之比只能是
T：那能否经过适当的翻折得到的是相似的矩形呢？
S：（学生热烈讨论，用纸实验.）
有啦，沿长边的黄金分割点翻折即可.
T：为何？
T：很好，如果再用如此的方法翻折下去，你能得到什么样的图形呢？
S：如图3.
T：这个图形有没有实际的生活背景呢？
大家可能一时还看不出来，如果将图形添一些线，大家就会有点感觉了（体现教师的点拨和主导作用）.
如图以正方形中的相对应的点为圆心，以相应的边长为半径作四分之一的圆弧，得到图形（如图4）.
（学生一阵感叹，好美！）
大家看它的实际背景，（黄金螺线）如鹦鹉螺等等.
我们把矩形的宽长之比为黄金比
时，所成的螺线称为黄金螺线.
下面我们来求一下黄金螺线第n节的长度（或前n节的长度）.
S[，甲]：设第n个正方形的边长为x[，n]（即第n个圆弧的半径），则由黄金螺线的性质知，
的等比数列，故前n段黄金螺线的长度和为
S[，乙]：根据定义这些正方形都是相似形，因此由相似形的对应线段成比例知，前后相邻两个四分之一圆弧长的比等于对应正方形的边长之比，即
T：很好，甲同学的解法是一种通性通法，乙同学根据平几的知识简洁明了.
从此例可以看到黄金分割不仅是数学的原则也是自然的原则.
下面我们来看一个更具挑战性的问题，它将挑战我们的视觉和智力.
（用《几何画报》演示，让学生观察下列图形形成的规律，计算机在此适当有效地发挥作用，在动画中培养学生的观察能力.）
观察下面一组图形，加以研究.
先请同学们说出它们构成的规律.
（在一系列的图形中找出数列之间的内在关系是这个问题的一个亮点，是数形结合在数列中的应用的一个佳例.）
S：后面的图形都是由前面图形绕一个定点（最左或最右点）旋转得到的.
T：很好.那么大家再考虑一下，若图5中最左图形的长度为4a，求第n个图形的线段长（若有重叠，重复计算）.
（师生共同讨论研究）
S：a[，1]=4a，a[，2]=2a[，1]，a[，3]=2a[，2]，…，a[，n]=2a[，n-1]，
∴｛a[，n]｝组成以a[，1]=4a为首项，以2为公比的等比数列，
∴第n个图形的线段长为a[，n]=4a×2[n-1].
自相似性是大自然属性的一种反映，由于时间关系我们不能作太多太细的研究，下面我们通过一个短片作一个浏览，希望大家通过这个片子可以了解数学与自然、数学与人文的密切关系.（在悠扬音乐的伴随下学生观看flash制作的精美画面和动画，在这短片中有自然界中自相似现象，如云彩、植物、花菜、花朵、海岸线、雪花曲线等等，用数学方式表示的自相似图形，如科赫曲线、皮亚诺曲线、西尔平斯基衬垫、地毯和海绵等，数学家的名言有机地穿插其间.）
（在现代信息技术的环境下，数学学习的内涵和形式更为多样和丰富，数学的文化传播途径和审美视野都大大拓宽了，有助于实现新课标倡导的要让学生在数学学习中体会数学的科学价值、应用价值、人文价值.）
T：当然也希望同学们看后自己也能画一些自相似的图形，并说出它们的数学性质.（学生自己在练习本上描绘，教师巡视，并请一些学生上黑板画出图形.）
对于图6中的右上图，学生给出下列的问题和解答（用实物投影仪放映，由于时间关系没有深入展开）.从外往里最大正方形的边长为a，相邻两正方形的对应边成θ角，求从外往里第n个正方形的边长.
设第n个正方形的边长为x[，n]，则在三角形中不难得到
等比数列，
（数学学习不仅要使学生掌握一门知识、领会数学思想，更为重要的要让学生从中学会品味数学、鉴赏数学，促进学生情感、态度、价值观的形成.）
T：很好，大家一定还有很多的创意，有的同学还写出它们的数列性质.
今天回家的作业就是自己画一个具有自相似的例子，并给出它的一个数学性质（比如等比数列，当然也鼓励大家写出其他性质），并写出详细的解答.
教后感
（1）新课标提倡学有用的数学、有价值的数学，以往我们的教学过于关注程式化、逻辑化的知识，以“考”为中心，远离生活，设置的应用题往往也是人为编制，总有牵强附会之感.本案例从学生习以为常的复印纸的规格入手，贴近生活，不落俗套，让学生感到数学就在身边.
（2）新课标提出数学教学要注意传播数学文化，培养数学审美情趣，本案例提供的例题让学生感受到数学的对称美、变换美、内在美.数学教学不仅要让学生掌握数学、应用数学，而且还要学会鉴赏数学、品味数学、创造数学（数学的创造形式有多种形式，但我们往往拘泥于数学抽象的、逻辑形式的创造，而忽视数学直感、直观的创造，事实上这种形式的创新更符合大部分学生的实际情况，有利于激发学生的学习兴趣），促进学生个人良好个性品格的形成，这样我们的课堂才能真正焕发生命的活力.
（3）新课标倡导教师在教学中要注意课程资源的开发与利用，课程“教材”并非教学惟一之“材”，教学的可用之“材”，除“教材”以外，其实还有周围的环境资源以及学生自身的课程资源（本课中的复印纸、Word文档、鹦鹉螺、flash、计算机等）.从中挖掘能够反映数学概念、规律、方法、思想等有教学价值的素材，用心设计，使“教材”更具情趣化、生活化.