基于几何作图的平行四边形复习课教学设计与思考，本文主要内容关键词为：几何论文,课教学论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
复习课是教学过程中一种非常重要的课型，对夯实学生的基础、培养和提高学生运用知识、解决问题的能力起着举足轻重的作用.然而目前数学复习课的教学现状却不容乐观，主要存在如下问题：知识结构强化学生知识点的记忆，忽视学生知识梳理过程的主动性；思维训练强调解题数量的增加，忽视学生思维方法形成的规律性；能力培养强调教学目标的达成，忽视学生能力培养的差异性.为了使数学复习课高效并充分起到复习的作用，本文基于几何作图的方法，从直观的角度实现对平行四边形知识单元的系统复习.
本节内容是教师复习北师大版课标教材八年级上册平行四边形判定知识的一节内容，教学设计如下.
一、复习引导，指明方法
教师首先用尺规任意作了一个△ACB，然后以点C为圆心，任意长
为半径画弧，交边CA、CB于点E、F.以点A为圆心，为半径画弧，交边CA于点G.再以点G为圆心，EF长为半径画弧，交前弧于点H，连接AH并将其延长；同理，再以点A为圆心，任意长
为半径画弧，交边AC、AB于I、J两点.以点C为圆心，为半径画弧，交边AC于点K.再以点K为圆心，IJ长为半径画弧，交前弧于点L.连接CL，其延长线交AH的延长线于点D（如图1所示）.
（教师在作图的过程中向学生说明作图的具体步骤）.
师：所得到的四边形是什么四边形？为什么？
：四边形ABCD是平行四边形.
由图可知，因为∠DAC=∠ACB，∠ACD=∠CAB，所以在四边形ABCD中，有两组对边分别平行，即AD//BC，AB//CD.所以四边形ABCD是平行四边形.
师：你是根据什么判定这个四边形是平行四边形的？
：根据平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
师：的说明完全正确，平行四边形的定义既是平行四边形的性质，又是平行四边形的判定.利用尺规作图，还有其他方法作平行四边形吗？
此时
举手，教师叫到黑板上画图，让其他的学生看的作图过程.具体过程是：
任作∠BAD，以点B为圆心，AD长为半径画弧.再以点D为圆心，以AB长为半径画弧，两弧交于点C，连接BC、CD（如图2所示）.
师：说明你作的图形为什么是平行四边形？
：由作图可知，在四边形ABCD中，有两组对边分别相等，即AD=BC,AB=CD.根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形的判定定理，可得四边形ABCD是平行四边形.
师：作图很准确，说明得也很好.数学语言包括文字、符号和图形语言.几何重点体现的是图形语言.通过几何作图大家可以深刻地理解几何的性质和作图方法的科学性.我们今天就是要通过几何作图的方法，感受各种四边形的性质和相互关系.
注：本环节是复习课的开始，教师以示范的讲解方式，向学生说明本节课的复习方法.通过本环节的引入，学生能明确本节课的复习内容及复习方法，为后续环节的学习，起到铺垫的作用.
二、明确方法，有效复习
师：哪位同学还有不同的方法？先作图，再进行说明并写出证明过程.
此时讲台下有很多学生纷纷举手，教师叫
到黑板前来作图.作图过程如下：
先作∠MAN，在边AM上任找一点B.以点A为圆心，任意长r为半径画弧，分别交AM、AN于点F、E.再以点B为圆心，r为半径画弧，交AM于点G.以点G为圆心，EF长为半径画弧，与前弧EF交于点C.连接BC.以点A为圆心，BC长为半径画弧，交AN于点E，连接EC（如图3所示）.
师：画的为什么是平行四边形？
：由图可知，在四边形ABCD中，有一组对边平行且相等，即AE平行且等于BC.
师：具体地说，就是一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.作平行四边形还有什么方法？
（此时学生举手，教师叫
到黑板上作图）.
的作图过程如下：
先作两条互相垂直的直线，进一步再作平行四边形（如图4所示）.
（在作图过程中，学生开始讨论他的做法.此时教师提出问题：是利用什么判定定理作平行四边形？）
：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形.
师：大家回答得很好.现在大家思考一下，利用对角线互相平分的四边形是平行四边形这个判定作平行四边形，对角线一定用画垂直吗？
生：（大部分）不一定.
师：对，如果要求对角线互相垂直，那么我们得到的平行四边形就是一个特殊的，我们称为什么呀？
：是菱形.
师：对了，所以我们只要对角线互相平分就行了.那么，根据大家的意见，应该怎样修改一下你的作图过程呢？
：将第一步中互相垂直的两条直线画成相交的两条直线就行了（如图5所示）.
师：大家说对不对呀？
：对.
师：以上我们用4种尺规作图方法，复习了平行四边形的判定.
现在大家回过头再思考一下所作的图形.看他是根据什么判定这个四边形是菱形的？
：因为所画的四边形的对角线互相平分，可以判定该四边形是平行四边形；又因为该平行四边形的对角线互相垂直，所以可判定出这个四边形是菱形.
师：回答得很好.从这里我们可以看出，若利用对角线判定一个四边形是菱形，必须在平行四边形的基础上再加上对角线互相垂直的条件.现在同学们就仿照平行四边形的判定方法，小组合作学习菱形的判定定理.作图时应注意可以任画一个菱形，也可以在平行四边形的基础上画菱形.但最终画完都要有判定定理.然后小组派代表到黑板上作图，并进行说明.
（过了约5分钟，开始小组板前展示说明）.
注：本环节中，学生在教师的指导下，采用尺规作图的方法，复习平行四边形的判定定理.意在通过本环节的学习，学生能够进一步掌握这种复习方法，为下一节学生小组讨论、自主复习打下基础.
三、小组合作，明确分工
第一小组
作图，如图6所示.
进行说明：如图6，四边形ABCD是平行四边形，分别以点A、B为圆心，AB长为半径画弧，分别交AD、BC于点E、F，连接EF.
因为AE=BF，且AE//BF，
所以四边形ABFE是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）.
又因为AB=BF，
所以四边形ABFE是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）.
（在此
强调：证明四边形是菱形之前，首先必须先证明该四边形是平行四边形.本组的判定是根据菱形的定义来判定的）.
第二小组
作图，如图7所示：
进行说明：如图7，在直线
上任找一点O，以点O为圆心，任意长为半径画弧，交直线于A、C两点.再分别以点A、C为圆心，任意长为半径画弧，两弧分别交于B、D两点，连接AB、BC、CD、DA，连接BD.
由图可知，线段AC、BD互为垂直平分线，
所以OA=OC，OB=OD.
所以四边形ABCD为平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）.
又因为AC⊥BD，
所以平行四边形ABCD为菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）.
进一步说明：本组所利用的判定与的判定相同，但本组是利用线段垂直平分线的性质进行作图的.
第三小组
作图，如图8所示：
说明：如图8，任意作线段AB，分别以点A、B为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点C，再以点B、C为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点D，连接AC、CD、DB.
因为AB=AC=CD=DB，
所以四边形ACDB是菱形（四条边相等的四边形是菱形）.
待学生说明本图后，教师提出这样的问题：四条边相等的四边形是菱形是对的，本组所画的菱形，是否特殊？
：我们所画菱形是特殊的菱形，其中∠A=∠D=120°，∠B=∠C=60°.
：该组所画菱形比较特殊，不具有一般性.这个菱形实际上是由两个全等的等边三角形组成的.虽然满足四条边相等，但不具有一般意义.对于菱形的这个判定，哪个小组还有别的画法？
（此时没有人举手）.
师：若画任意四条边相等的菱形，可以这样做.先作一个∠A，以该角顶点A为圆心，任意长r为半径画弧，分别交角的两条边于点B、D.再分别以点B、D为圆心，r为半径画弧，交于点C，连接BC、DC，则四边形ABCD为菱形（如图9所示）.
证明：因为AB=AD=BC=DC，
所以四边形ABCD是菱形（四条边相等的四边形是菱形）.
师：由图可知，我所画的菱形的四条边是任意的，具有一般性.现在我们已经学习了三种菱形的判定方法，证明的时候，必须满足这些条件，才可以利用相应的判定定理进行判定.好了，接下来我们看矩形的判定.
注：在本环节中，教师放手，让学生小组合作，复习菱形的判定.通过本环节的学习，学生不仅能够灵活地运用尺规作图的方法，还能够从图形的角度直观理解菱形的判定定理.
四、师生合作，提问复习
师：（以黑板上的任意一个平行四边形为例）怎么将一个平行四边形变为矩形？需要加什么条件呢？
：在平行四边形的基础上加1个直角.
师：还有什么条件？
：在平行四边形的基础上增加对角线相等的条件.
师：还有一个判定方法，就是在四边形的基础上增加3个直角.好，接下来我们复习正方形的判定.
师：在矩形的基础上增加什么条件，就是正方形？
：加一组邻边相等.
师：从菱形的角度需增加什么条件？
：加1个直角.
师：好，还有一种判定方法：既是矩形又是菱形的四边形是正方形.这3个判定是正方形最常用的判定定理.其余的判定方法，只能在选择或填空中用来判定四边形，不能在证明题中作为判定的依据.
注：本环节的设计一是节省时间，二是想让学生课下完成尺规作图的过程，巩固这种复习方法，并使他们更深刻地理解平行四边形的判定定理.
五、综合应用，巩固要领
下面给出如下问题，大家思考该怎样解决.
问题：如图10，在梯形ABCD中，AD//BC，E是BC的中点，AD=5，BC=12，CD=4
，∠C=45°，P是BC边上一动点，设PB的长为x，
（1）当x的值为________时，以P、A、D、E为顶点的四边形为直角梯形；
（2）当x的值为________时，以P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形；
（3）点P在BC边上运动的过程中，以P、A、D、E为顶点的四边形能否构成菱形？试说明理由.
师：在做此题之前，首先大家需要注意一点：若不确定四边形四个顶点的顺序，则四个顶点可以随意组合；若确定了顶点的顺序，也就确定了四边形.在做此题时，大家仔细审题，看题目中的要求符合哪种情况.大家现在讨论一下，然后我们一起完成解题.
解：（1）过点A、D作BC的垂线，垂足分别为点G、H.
由∠DHC=90°，∠C=45°，CD=4，可以推出DH=CH=4.
当点P移动到点G或点H时，以P、A、D、E为顶点的四边形为直角梯形.
因为AD=5，BC=12，
所以当点P与点G重合时，PB=3；当点P与点H重合时，PB=8（如图11所示）.
（2）因为AD//BC，所以当PE=AD=5时，以P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形.
因为E是BC中点，且BC=12，
所以当PB=1或PB=11时，以P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形（如图12所示）.
（3）由（2）可知，当x=1或x=11时，以P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形.①当x=1时，以P、A、D、E为顶点的四边形是平行四边形APED.
，AD=5，AP≠AD，所以以P、A、D、E为顶点的四边形不能构成菱形；
②当x=11时，以P、A、D、E为顶点的四边形是平行四边形.AE=
=5，AD=5，AE=AD，所以以P、A、D、E为顶点的四边形能构成菱形.
注：本环节是对本节复习知识的灵活应用，不仅培养学生分析问题、解决问题的能力，还培养了学生分类讨论的思想.
【教学反思】教育家苏霍姆林斯基曾经告诫我们：“希望你们要警惕，在课堂上不要总是教师在讲，这种做法不好……让学生通过自己的努力去理解的东西，才能成为自己的东西，才是他真正掌握的东西.”复习课也不能成为教师展示自己解题“高难动作”的“绝活表演”场地.本文所述的复习课采用一种基于几何作图的创新复习方法，使学生在课堂上通过作图，自主复习了平行四边形的一些判定定理.在结合作图进行证明的过程中，使学生更深刻地理解了该判定应该怎么用，应该在什么条件下用.教师以这样的方式复习四边形的知识，不仅激发了学生学习的兴趣，使复习课真正起到查漏补缺、巩固强化的作用，还开拓了学生的几何思维.