教育数学是具有教育形态的数学，本文主要内容关键词为：数学论文,形态论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
4.1 3.3 3.75 70° 50° 60° 4.330 4.363 4.308乙5.3 3.1 3.6 107° 50° 33° 5.660 5.557 5.692丙
3
3
3
60° 60° 60° 2.598 2.598 2.598
学生于是猜想正弦定理的结论。
这样做，不是数学思考。正弦定理绝对不是量出来的。数学不能靠大家意见相同得到 结论，必须证明。况且正弦定理的证明很简单。用“高”作媒介，将三角比变换一下， 立可推得。花费大量时间“量”、计算，乃是败笔。
例4 “量”的经典范例：巨人的手(Freudenthal)。
昨夜黑板上留下巨人的手印。今晚还来访问，请你为巨人设计巨人使用的书籍、桌子 和椅子的尺寸。
活动设计：(1)用自己的手和巨人的手相比；(2)确定“比值”；(3)量自己的书、桌子 ，椅子尺寸；(4)用比例放大。
这样的度量，突出“相似比”的数学本质，量得有价值，有意义。
例5 标活动。(上海长宁区活动教学的案例)
教学设计：将教室的课桌并拢，用两根有箭头的绳子做成坐标轴；选择一个同学处为 原点。于是一对坐标对应学生的位置，请学生自己认清坐标；活动内容：两坐标都是非 负的站起来(第一象限)：两坐标相等的站起来(直线)：换一个同学做坐标原点(坐标平 移)……
这样的活动，抓住了“坐标”的数学实质。虽然只实践了整数坐标，但是保持了坐标 的意义。
例6 方程定义。(概念教学与数学本质)
数学教材中的方程定义，历来是采取外在的逻辑形式：含有未知数的等式叫方程。这 样的定义用黑体字标出，上课朗诵，课后背诵记住，第二天要提问。但是这样的定义没 有触及数学的本质，没有用处。那么，方程的数学本质何在呢?请看内在的数学本质：
方程是为了寻求未知数，在已知数和未知数之间建立的一种等式关系。
实际上“方程”思想的本质在于建立关系。为了认识“未知数”先生，必须请已知数 “先生”为媒介，找到一种关系，根据关系就能认识“未知数”先生了。
方程思想。(三根电线的长度)
上海51中学陈振宣提供：他的一个学生在和平饭店做电工、发现地下室到10楼的3根电 线不一样长。如何测知他们的电阻?(如图1所示)
附图
事实上，不可能用物理方法测量，只能通过解方程求得电阻。也就是解联立方程组
学生懂得了方程的本质，所以才能解决实际问题。
袁枚(清)在《随园诗话》中说：“学如箭镞，才如弓弩；识以领之，方能中鹄。”
例7 最近以来，许多学者研究勾股定理(Pythagorous Theorem)的教学。大家都把功 夫化在该定理的“发现”上。在班上发工作单：边长为3，4，5是直角三角形等，一共 有6张之多。通过大家猜想，最后让学生发现直角三角形3边的平方和关系：
a[2] + b[2] = c[2].
笔者认为，这一定理的发现并不重要，重要的是它的证明和使用价值。其实，可以换 个方向思考：把勾股定理直接写出来，配以历史图片，文化价值；巴比伦的勾股数；费 马定理和外星人通信等故事。把重点放在反思教学：如何证明?它为什么重要?如何运用 ?把探究过程放在后面。此时，可以比较中国用面积的出入相补方法。赵爽的代数证法 。几何原本的几何证法等。同时看到，一个三角形作高，就可以分为两个直角三角形。 这是今后学习的关键。以为“发现”一定好，其实，学生能够发现的往往只是现象，并 不是本质。
例8 用糖水浓度作“不等式”的思想实验。(罗增儒)
不等式b/a＜(b + m)/(a + m)是很常见的。但是可以通过糖水浓度的思考，抓住它的 数学本质。
假如令a—溶液(糖水)；b—溶质(糖)，那么b/a是糖水的浓度(甜度)。现在向糖水中再 放糖m＞0，糖水变甜；这就是不等式
b/a＜(b + m)/(a + m)
的现实意义，也体现了该不等式的价值。现在，如果将两杯浓度不一样甜的糖水(b/a ＜d/c)倒在一起，甜度会怎样?显然，甜度在原来两种甜度之间：
b/a＜(b + d)/(a + c)＜d/c.
这样学习数学，对数学本质会有更深的认识。
四、揭示数学的文化价值
数学的价值，主要在于培养学生的理性思维精神。揭示数学背后隐藏的文化价值，是 一个重要的方面。我们在教学中，应当突出数学的文化本质。不然的话，像猪八戒吃人 参果，不知滋味。
例9 “对顶角相等”是否要证明?＾《几何原本》中的命题15：对顶角相等。(如图2)
附图
证明：A + C = B + C = 平角。由公理3：等量减等量，其差相等。因此，A = B。
试问，中国古代数学里为什么没有对顶角相等这样的定理呢?我们需要研究数学和民主 的关系。中国在春秋战国时期，学术自由，百家争鸣。但是学术是通过谋士向君王建议 治国之道而形成的。于是，数学以符合帝王统治的需要而产生。例如《九章算术》的内 容涉及：丈量田亩、计算税收、分摊徭役、计算土方、运输计费等官方管理数学。显然 ，君王不需要“对顶角相等”这样的数学。
另一方面，古希腊城邦实行奴隶主的民主政治(尽管是少数人之间的民主)。民主要求 说服，说服需要证明，证明的源头是公理，公理化方法得到应用。了解数学的这些文化 背景，可以使得学生更加深刻地理解数学本质。
例10 数学和文学。
(1)对称与几何变换。
几何学研究的是变换之下的不变量。(F.Klein)经轴对称、中心对称后，图形的位置变 了，但是图形的大小、形状没有变，长度、角度都不变。因此是“变化中的不变性质” 。
现在，再来看中国的对联，文学中的对仗。它们同样是要求“变化中的不变性质”。 例如：王维的著名诗句有：“明月松间照，清泉石上流。”其中“明月”对“清泉”， “松”对“泉”，“照”对“流”。字词是变了，但变中有不变。形容词对形容词，名 词对名词，自然景物仍然是自然景物。
文化上看，二者异曲同工。只是数学更加准确、比较抽象而已。研究变化中的不变性 质，实际上是普遍的科学规律。物理学的能量守恒、动量守恒。化学中的平衡方程式。 数学中方程的同解：恒等式sin[2]x + cos[2]x = 1；拓扑不变量：多面体欧拉定理、 七桥问题等都是如此。
(2)时间和空间。
初唐诗人陈子昂诗云：“前不见古人，后不见来者。念天地之悠悠，独怆然而涕下。 ”这是古人乃至今天人们对时间与空间的认识。诗人处在原点，两头茫茫皆不见，于是 时间的模型是一条两端无限的直线：天地各为两个平面，悠悠地、无限地伸展着。我们 的几何就是在这样的空间里展开的。为什么怆然涕下?因为空间广袤，个人显得渺小。
(3)数学和意境。
孤帆远影碧空尽，惟见长江天际流。徐利治认为这是“极限意境”。
众里寻他千百度，蓦然回首，那人却在灯火阑珊处。(王国维《人间词话》)学习数学 ，可以将它看作解题意境。我们每当添一条辅助线，出现一个想法，使得山穷水尽之 时，一下子柳暗花明起来，正是王国维所说的境界。
2002年8月20日北京举行的国际数学家大会召开，早上中央电视台东方时空的“东方之 子”栏目，由方静采访丘成桐。丘成桐谈《史记》时说：“我读《史记》像欣赏歌剧， 一幕幕地展开。”历史是宏观的。学习历史会使人用宏观观点考察事物。我提出的数学 想法往往和别人的不一样，就是得力于《史记》。我们需要这样宏观的数学认识。
五、以本原问题驱动展现数学本质
数学中充满着问题。大家都引用哈尔莫斯的话：“问题是数学的心脏。”但是数学问 题多种多样。有些问题是波利亚式的——纯粹数学课题，有明确的条件和结论，找准解 题策略之后，依靠技巧获得解决。还有一种问题是数学本原问题，着重数学思想，建立 数学概念，构造思想体系，形成数学思想。我们可以从数学解题规律提升为数学本质的 揭示。学习波利亚，超越波利亚。
数学本原问题是处理数学教学的灵魂。最近看到一篇高等职业技术学院的微积分大纲 ，也是极限、连续、导数、微分……特别是要讲左右极限，是否必要?数学的本原问题 不必包括这些枝节问题，让职业学校的学生会用微积分观点看问题才是最主要的。没有 思想的数学等于废了武功。(郑绍远)剑招可以生疏，剑法不能忘记。(李大潜)
下面以微积分的教学为例，谈谈问题驱动。
问题1 函数的实质是变化，还是对应?
对企业老总问：您每天走进办公室，看见函数吗?看见对应吗?回答是没有。但是，你 看到变化吗?回答是多得很!函数的本质是研究变化。
问题2 为什么微积分要研究增量?
价格提高、销量降低是常识。但是微积分的本质是问：在现有的价格上价格变一元， 销量会减少多少?这就是增量分析。微积分教学忽视增量，就丧失了对数学本质的探求 。
问题3 如何研究瞬时速度?
瞬时速度是出发点?还是微积分的力学解释?先有导数，还是先有瞬时速度?返朴归真地 看，瞬时速度是原始概念。快车赶上慢车那一刹那的速度，人人都懂。我们的任务是用 平均速度逼近，用极限方法求瞬时速度。这正如小学里没有定义面积的概念，却可以求 面积。道理是一样的。
问题4 为什么要求切线的斜率?
全局的问题。抛物线y = x[2]，中学里可以用许多方法研究。但是是否可以用切线斜 率研究它?观察y = x[2]的切线变化，可以发现许多函数的性质。
问题5 牛顿二项式为什么重要?
当牛顿二项式定理放在面前，幂函数的导数公式就立即浮现。用高阶无穷小思想考察 仅
附图
问题8 什么是函数的局部性质?
许多人学完微积分不知道函数的局部性质和整体性质。一篇对中学教师有指导性的文 章说：“局部性质是指函数在一点的性质。”
问题9 为什么要学习闭区间上连续函数的3大性质?
关键是用它来处理整体性质。
问题10 微分中值定理如何处理整体性质?
在一点有极限、连续、可导等都是局部性质。区间上单调、有界、最大(小)值等都是 整体性质，中值定理的条件是局部的，结论是整体的。因此可以将中值定理用作为局部 通向整体的桥梁。
这些话，都是火热的思考。如果教材里不写，教师不讲，让学生自己琢磨，岂不事倍 功半?
六、学一点数学史加深数学本质的理解
许多数学本质，只有从历史的发展才能深刻体会。
数学之难学，往往在于数学符号的运算。许多人看见符号就头疼。一个数学模型，无 非是用符号把数量关系写出来。李善兰是我国清末数学名家(如图3)。他是同文馆理科 教习中的唯一中国人，也是最早懂得微积分的东亚人。但是，他使用的符号非常奇怪， 结果无法走远。
附图
例2 线性组合与通解。(项武义)
《孙子算经》有西方人所说的中国剩余定理。内容是解同余式组：
附图
特解，即线性组合可以得到通解。我们用这样的历史来进行线性代数、微分方程、线 性空间的基等的教学吗?
例3 战后：1948年的数学日历。
1948：美国仙农发表《信息的数学理论》。(研究信息)
1948：维纳发表《控制论》。(研究控制)
1948：Von Neuman计算机方案形成。(研究计算)
数学和信息、控制，计算如何联系起来?中国缺乏这样的数学偶像。中国的应用数学为 什么落后就可以知道原因了。
例4 1970年走出布尔巴基的光环。
布尔巴基的结构主义，冲破了法国在19世纪20年代维持的“函数论”王国，用“代数 结构、序结构、拓扑结构”统一数学。将集合论、测度论、李群论、抽象代数、代数拓 扑、泛函分析……融为一体。但是，这一构想最后没有成功，因为结构主义不能概括微 分几何、数论、概率统计、计算数学、离散数学……1950年，吴文俊在《科学通报》介 绍布尔巴基，无人喝彩。1970年，法国以及其它国家的年轻数学家走出布尔巴基的影响 。1980年，中国大规模介绍布尔巴基学派。我们的数学观念是相当滞后的。