物理学中的类比方法--以汤姆逊和麦克斯韦为例_汤姆森论文

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       类比(analogy)是一种古老的形而上学方法，作为一种思维和论证的工具，其在西方古典哲学、神学和逻辑学中有大量使用和讨论。然而这种方法的严格性，以及它是否可以被算作一种逻辑方法，一直以来却饱受争论。正因为如此，当英国物理学家汤姆森和麦克斯韦引入“物理类比”方法来研究电学问题时遭到了严重的质疑。然而汤姆森和麦克斯韦的“物理类比”方法与哲学或逻辑学家所讨论的类比是否一致，它究竟是一种严格的物理推理程序还是仅仅是一种思维上的启发策略?本文将尝试通过分析汤姆森和麦克斯韦使用“物理类比”方法的具体方式，对此问题提供一管之见。

       一、哲学中的类比推理

       哲学中关于类比的论述可以追溯到亚里士多德。尽管亚里士多德本人从来没有明确给出过诸如“类比是……”这样的命题式定义，但他的著作中确实提到过至少两种不同的类比。一种是不同类别对象之间的类比：

       另一种选择(适当的部分和划分)的方法是类比。我们必定不可能为乌贼的利鳍、鱼的脊骨以及动物的骨头找到一个单一的名称。虽然这些事物也有某种共同特性，这一事实意味着这类事物有一个单一的自然本质。[亚里士多德2003，页，339]

       而后世哲学家关于类比的讨论则主要是针对另一种类比：相同类别对象之间的类比。亚里士多德对这种类比的论述也相对更清晰些，尽管他本人并没有使用“类比”这个词，而是称之为“例证”(example)：

       当大项通过一个相似于第三个词项的词项被证明属于中项时，我们就获得了一个例证。必须既知道中项属于第三个词项，又知道第一个词项属于与第三个词项相似的词项……如果我们想要证明反对忒拜的战争是坏的，我们必须认定对邻邦发动战争是坏的，其证据可从相同的例证中得出，例如，忒拜反对福奥克斯的战争是坏的。因为反对邻邦的战争是坏的，反对忒拜的战争就是反对邻邦的战争；所以很显然，反对忒拜的战争是坏的……因此，很显然，当两者都属于同一个词项，其中一个被知道时，则一个例证所代表的不是部分与整体，或整体与部分的联系，而是一个部分与另一个部分的联系。它与归纳不相同。归纳是从对全部个别情况的考虑表明大项属于中项，并不把结论与小项相联系。相反，例证与它相联系，也并不使用所有个别情况来作证明。[亚里士多德2003，页，233-234]

       在亚里士多德所举的这个例子中，用来进行类比的两个对象是忒拜反对福奥克斯的战争和雅典反对忒拜的战争，它们同属于战争这个大类，而这正是对它们二者适用类比方法的依据。因此当我们知道忒拜反对福奥克斯的战争是坏的，按照类比的原则，就有理由推断雅典反对忒拜的战争也是坏的。

       不过，无论是不同类别对象之间的类比还是相同类别对象之间的类比，有一点是共通的，即进行类比的两类对象或两个对象之间需要有部分属性相同。而类比推理正是根据它们的这些相同性而推定它们的其他属性也相同的推理。

       类比推理遭受质疑的最核心的困难在于，它的结论并不总是具有必然性。比如，羊和狗都是哺乳动物，这是它们的相同点，但是如果据此推定羊吃草，所以狗也吃草，那么就明显违背了事实。这也就是后世哲学家所说的“消极类比”。并且，只要我们在两个对象间建立类比关系，就必然存在消极类比，因为如果两个对象的所有属性都相同，那么它们之间的关系就不是类比或曰类似，而将是同一。所以即便是亚里士多德本人，也更看重类比在修辞术中的价值，而不认为它是可靠的逻辑推理方法。

       二、科学哲学家对物理类比方法的讨论

       类比方法从一个一般的哲学论题变成科学哲学家关注的对象，首先源于19世纪英国物理学家汤姆森(William Thomson)和麦克斯韦(James Clerk Maxwell)将“类比方法”引入物理学研究。其中尤其是后者的影响较大，他不但有意识地将这种新的研究方法命名为“类比”，而且在不同场合为其进行宣传和辩护，认为通过“对两个理念系统间的形式类比的认识”而得到的关于它们二者的知识，“比通过分别研究每个系统所能取得的知识更为深奥”。[Maxwell 1871a]也因此，麦克斯韦物理类比思想受到的研究和批判远比其始作俑者汤姆森更多。

       最先对麦克斯韦的类比方法提出批评的是著名的科学哲学家——同时也是物理学家——迪昂(Pierre Duhem)。作为物理学家，迪昂关于电磁学的学术观点与麦克斯韦针锋相对；作为科学哲学家，他将麦克斯韦视为他所谓的“宽阔，但却无力”的英国思维的典型代表。他指责麦克斯韦电磁学过于莽撞，且过于依赖模型[Ariew & Barker 1986]——具体地说，过于依赖力学模型或者说是与力学定律之间的类比。比如“位移电流”这个概念，就是在“没有恰当的观测现象要求对电流理论做这个扩展”[Duhem 1902]的情况下，仅仅根据与力学模型的类比建立的。在迪昂看来，这根本就是“不可信赖的轻率”。相反，只有像他所推重的库仑、泊松、安培等法国电磁学家那样，老老实实地沿着实验——假设——演绎的路径前进，才是科学研究的正途。尽管他也承认“在两类不同现象之间寻找类似之处，也许是在所有用于建立物理理论的程序中最有把握和最富有成果的方法”[迪昂 2005]，但对他而言，类比的唯一意义仍然只是启发性的，而不是物理理论所必需的。

       这种观点当然并不是所有人都认同。比迪昂略晚一些的英国物理学家和科学哲学家坎贝尔(Norman Robert Campbell)就针锋相对地强调：“类比并不是用来确立理论的‘助手’；它们是理论中的一个具有根本的本质性的部分，如果没有它们，理论将会是完全无价值和名不副实的……把类比当成是用来发明理论的助手，其荒谬程度不啻于把旋律当成是用来创作奏鸣曲的助手。”[Campbell 1920，PP.129-130]坎贝尔将类比看成是构成科学理论的一个普遍的、不可或缺的元素。在他看来，“为了让一个理论有价值……它必须展现为一个类比。假设中的命题必须与一些已知定律相类”。[Campbell 1920，p.129]这与麦克斯韦本人的某些观点十分相似①。但坎贝尔并没有对麦克斯韦在使用和发展类比方法方面所做的工作做特别专门的论述。事实上，由于坎贝尔把类比视为理论的一个必需的部分，因此在他的叙事中，无论是波义耳的气体弹性小球模型，还是牛顿关于落体定律与行星运行定律间联系的思考，全都成了物理学家使用类比方法的例子，这无疑又过分扩大和过度诠释了类比的概念与意义。

       美国科学哲学家特纳(Joseph Turner)首次对麦克斯韦的物理类比思想进行了系统总结，他指出三点：

       第一，麦克斯韦将类比视为一种介乎于纯数学公式和物理假设之间的东西。与单纯的数学公式相比，类比含有更丰富的物理内容，为抽象的函数赋予了物理意义，使之能够与现实中的现象与实验联系起来；但同时，它又比物理假设更加谨慎，后者是作为真实情况的可能备选方案被提出来的，而类比则不是。事实上，麦克斯韦本人就声称，对于某些在类比中出现的物理量，比如作为温度类比对象的电势，“我们没有理由认为它指示着一个物理状态”，它仅仅是“一个单纯的科学概念”(a mere scientific concept)。[Maxwell 1881]

       第二，麦克斯韦对类比的局限性有异常清晰的认识。他明确讨论过类比在两种情况下的局限性。第一种是类比关系的其中一方只在非常狭窄的条件下才与另一方构成类比的情况。一旦这些条件无法满足，这个类比就不再成立了。比如热传导和静电力传递之间的类比，只对稳定热流成立；流体与电力线之间的类比，则要求流体必须是静态、无摩擦且不可压缩的。另一种则与一个物理量对其他物理量的影响有关。比如在汤姆森的类比中作为相互对应的物理量的温度和电势，当局部空间的温度改变时，这个空间中的物体的密度、电阻等也会发生变化，而电势的改变并不会带来这些变化。

       第三，麦克斯韦已经意识到类比揭示出了一些不同领域的物理现象在深层次上的共同本质，并呼吁一套新的数学语言，用来表述这些潜藏在不同现象背后的物理内容。这套语言正是今天被称为矢量分析的数学分支，哈密顿、泰特以及麦克斯韦本人的工作为这个数学分支的建立奠定了基础。

       特纳还总结了麦克斯韦关于类比方法优点的论述：其一，类比使我们可以把一个物理学分支的数学解法转移到另一个(通常尚无成熟有效解法的)分支中去；其二，类比将会为我们引来很多有待验证的新命题，从而导致全新的理论和实验探究。[Turner 1955]

       与特纳同时代的另一些科学哲学家则开始从哲学中关于类比的传统命题出发来审视物理类比方法。其中最关键的工作之一来自玛丽·海斯(Mary Hesse)，她最显著的成就有两点：一是通过模仿归纳逻辑，实现了类比推理的形式逻辑化；二是确立了积极—中性—消极三种类比的分析框架。海斯把一个物理系统看成是一系列性质的集合。对于任意两个系统，我们都可以从中找到若干对相同或类似的性质，海斯将这些性质称为积极类比(positive analogy)；同样，我们也会找到一些性质，在两个系统间截然不同，甚至在其中一个系统中根本找不到对应的性质，海斯称之为消极类比(negative analogy)；而那些我们尚不知道它们是否相似的性质称为中性类比(neutral analogy)。比如在气体分子与碰撞球的类比中，二者在运动和碰撞中表现出来的性质是积极类比；仅为碰撞球所独有而气体分子并不具备的颜色、硬度和光洁度等性质是消极类比；而中性类比的存在则为我们通过这个类比做出新预言提供了空间。[Hesse 1966，p.8]而类比推理的逻辑，在海斯看来，就是从积极类比出发，对中性类比的相似性进行推测，然后对这个推测进行检验。如果这种相似性被证实，则将这一对性质归入积极类比，反之则归入消极类比。[Hesse 1966，pp.101-129；Hesse 1964]

       此外，海斯还梳理了亚里士多德的类比思想，认为科学类比属于亚里士多德的第一种类比，即不同类别对象间的类比。[Hesse 1965]她重新定义了形式类比(formal analogy)和质料类比(material analogy)的区分，并强调对科学发现意义更重要的恰恰是迪昂坚决反对的质料类比，而迪昂相对赞赏的形式类比则“对预言毫无用处”。[Hesse 1966，pp.68-70]这些工作不但对“物理类比方法”这一论题的研究产生了深刻影响，同时也为关于类比的哲学和逻辑学讨论带来了重要进展。就连海斯的批评者此后也大多是以积极—中性—消极三种类比的分析框架为基础进行立论的。

       然而海斯的类比理论中存在几个严重的问题。首先，海斯的解释使类比似乎变成了一种非常随意的过程。因为在大多数情况下(如果不是全部)，对于任意两个物体，我们几乎总能从它们身上找到至少一组积极类比关系，这似乎意味着在任意两个对象间都可以建立类比关系。事实上，海斯也的确认为物理研究中使用的类比对象是可以随意更换的。比如在量子力学中，电子既可以被类比为粒子，也可以被类比为波，甚至“来自粒子和波的类比可能会被日益淘汰，它们看起来很可能会被我们尚无法预知其确切性质的其他类比所取代”。[Hesse 1952]

       其次，尽管作为对迪昂的反驳和对坎贝尔观点的继承，海斯反复重申类比对物理理论具有本质性意义，而不仅仅是一种启发策略。但她给出的类比推理机制实际上还是把类比放在了一个仅仅是对探索过程有启发作用的工具性和临时性的位置上。按照这种机制，类比的意义只不过是提供一系列中性类比供人们检验，并分别把它们归入到积极类比和消极类比的集合中去。一旦所有中性类比都被归化为积极类比或消极类比，这个类比的生命也就完结了。

       最后，海斯给出的类比机制隐含地假定了所有积极、消极和中性类比都是平权的。也就是说当我们判断一个类比是否可接受时，其中的每一对积极类比和每一对消极类比的影响力都是相同的。但实际上正如彼得·阿钦斯坦(Peter Achinstein)指出的，在绝大多数情况下，“一个特定理论描述的对象都只是在某些方面②被与另一个对象做对比”。比如在原子的行星模型中，被拿来类比的只不过是轨道结构这一项性质，而原子的其它性质——它们与行星性质间的类比明显是消极的——则“根本没有被当作这个类比的一部分被考虑过”。[Achinstein 1964]海斯本人也意识到了这个问题，在她的专著中，一个虚拟的“迪昂主义者”曾经质问，为什么仅凭光的衍射这一个性质，就要对光的微粒说整体拒斥，而不是像其他很多情况那样，仅仅将这一点归入消极类比，而保留这个类比的其余部分?对此，作为海斯本人化身的坎贝尔主义者的回答是“……某些性质比另一些更本质”，并以分子的碰撞球模型为例，指出“从力学观点看”，颜色不是碰撞球的本质性质，而动量是。[Hesse 1966，p.34]但是为什么动量就应该比颜色更加本质?戴维·休·梅勒(David Hugh Mellor)一语点破了问题所在：因为质量和动量“在所有此类物体的力学定律中都被涉及了”；而颜色和温度“根本没有被力学定律涉及”。所以我们之所以可以容忍颜色和温度这些消极类比的存在，既不是一种随意的选择，也不是因为它们作为碰撞球所拥有的属性不如动量本质，而是因为它们对系统力学状态的求解没有影响。[Mellor 1968]

       三、汤姆森和麦克斯韦的物理类比

       归根结蒂，海斯类比理论的问题与20世纪很多试图完全以形式逻辑思想来理解科学的尝试一样，在于过度抽离了其中的具体物理内容。海斯将一个物理系统理解为若干性质的集合，这种倾向在现代科学哲学中并不少见③，但当她完全以对待抽象元素的方式来处理物理性质时，就忽视了二者间的一个重要区别：经典集合论考虑问题时一般要求集合中的元素相互独立(如果存在非独立元素，则首先通过操作将其变成所有元素相互独立的集合)；而一个物理系统所具有的各种性质并不是相互独立的，事实上，我们总可以找到有限的几条基本性质，所有其他性质都可以由这些基本性质中的一条或几条唯一地决定。如果两个物理系统在这样的一条或几条基本性质上具有积极类比关系，那么由这条或这些性质决定的一系列性质的类比必然也是积极的；反之，如果某一条基本性质的类比是消极的，那么与之有关的各种性质的类比也必然是消极的。这个推导是完全决定性的，不需要猜测，更不需要试错。

       汤姆森和麦克斯韦的“物理类比”正是建立在一组这样的基本类比上——这组类比甚至也许是对物理学研究而言最基本的一组，即两个物理系统的数学表达形式的类比。

       1 汤姆森对静电力和热流的类比

       物理类比方法，在本文所讨论的意义上，首次出现在威廉·汤姆森1842年匿名发表的论文“论热在匀质固体中的匀速运动，及其与电的数学理论之间的联系”[Thomson 1942]中。该文也是麦克斯韦类比思想的直接源头，他不但在“论法拉第力线”中直接引用了这一案例来阐述物理类比方法的意义[Maxwell 1864]，而且在1854年11月写给汤姆森的信中提到：“热传导的类比给了我极大的帮助，我相信这是你的发明，至少我从没在其他地方见过它。”[Maxwell 1954a]对此汤姆森本人也颇为自诩。1854年，作为对法拉第力线理论的响应，汤姆森在补写了大量脚注后重新发表了这篇论文。在重新发表的题注中他强调，尽管文中的大部分结论已被沙勒、高斯、格林等人通过其他进路抢先提出，但“这些观点所赖以建立的(静电力分布)与热传导之间的类比，就笔者所知，尚未被其他作者注意到。”

       汤姆森论文的目标是给出带电物体周围的等势面与物体所带电荷之间的定量关系，并以此为基础求解非球形——具体而言是椭球形——导体表面的静电力分布。在此之前，库仑定律确立久已，鉴于其与万有引力定律同样遵从平方反比关系，泊松将拉普拉斯讨论万有引力问题时发明的势函数V④引入静电学，并以此为基础解决了球形导体表面的静电分布问题。[Poisson 1811]当时的物理学家还普遍没有建立势(potential)的概念，拉普拉斯和泊松将V定义为“球体内全部分子的总和，除以它们各自到引力作用点的距离”[Laplace 1799]，即：

      

       其中ρ为质量或电荷密度、γ为球体内一点到引力作用点的距离，dτ为体积元。考虑带电导体的电荷只分布于导体表面，上式变为：

      

       其中ρ为电荷面密度，

为导体表面面元。另，根据拉普拉斯给出的定义，球体对球体外任意一点的引力(按照现代术语，其实是引力场的场强)在各个方向上的分量可表示为：

      

       考虑带电导体电荷只分布于导体表面且处于平衡状态，则导体表面的静电力只有垂直于导体表面的分量，即

      

       同时，V在球体外部满足拉普拉斯方程：

      

       另一方面，傅里叶于1822年出版《热的解析理论》，其中将通过截面的热流表示为：

      

       并给出了均匀各向同性介质内部的热传导方程：

      

       其中v为温度函数，f为单位时间内沿热传导方向通过单位截面积的热量[Fourier 1822，p.54]，K、C、D分别表示介质的热传导系数、比热容和质量密度[Fourier 1822，p.122]。在平衡状态下，温度随时间的变化率为0，从而有：

      

       可以看到，当取K=1，则(2)、(3)两式和(4)、(5)具有完全相同的形式。这一相似性已被拉普拉斯和泊松注意到，但两人都没有做进一步考虑。汤姆森熟悉傅里叶的热传导理论，并至少间接地学习过拉普拉斯和泊松的著作⑤，当然也应该了解上述这些情况。但是在热、电这两种现象间还存在着一个重要的区别：对于热传导而言，媒质中的每一个点上都有相应的温度和热流，同时也拥有真实的热量。换句话说，媒质中的每一个分子，都可以视作在热的传播方向上与之相邻的下一个分子的热源。而在静电学中，带电体周围的每一个空间点也都对应着相应的势函数和场强，但却并没有真实的电荷存在。只有一个空间区域例外，那就是在一个带电导体的表面。带电导体的电荷全部分布于导体表面，是早已广为人知的实验定理；导体表面的势函数处处相等，也已由泊松指出。[Poisson 1811]只有在这个表面上，一个点——与热传导介质中的点相对应——不但拥有确定的势函数和场强，也拥有真实的电荷密度；而且这个表面在热传导介质中所对应着一个温度处处相等的面，即等温面。

       另一方面，泊松和拉普拉斯的工作已经证明，只需知道空间的势函数和边界条件，就可直接求出空间中任意一点的引力场强度，而无须了解引力源的具体情况——正如在热传导问题中只需知道温度函数和边界条件而无须理会热源的具体情况一样。泊松还证明了，对于球形导体而言，它附近空间一点的场强，与它所携带的电荷全部分布于球心时产生的电场完全相同。

       基于以上事实，汤姆森提出了他的一般性假设，用现代物理术语可表述如下：

       空间中任意带电体，总能找到一个包裹它的等势面。使物体所带全部电荷都分布于等势面上，并达到平衡状态，则面上任意一点的电荷密度等于原带电体产生的电场在这一点的场强除以4π；表面外一点的场强与原带电体在同一点产生的场强相等。

       这一结论的更普遍形式其实早已被格林和高斯通过解析方法证明，但汤姆森当时并不知道这一点。而他用来证明这一结论的方法则是完全独特的，即通过与热传导的类比。这个类比还有一个好处，那就是如同我们可以把热传导的微观过程理解为分布在一个等温面上的热源将热量传递给与它相邻的等温面上的分子的连续过程，我们也可以将静电力在空间中的扩散想象成分布在一个等势面上的电荷作用于它附近的空间形成与它无限接近的另一个等势面的过程。事实上，按照汤姆森的理论，对于空间中任意一点，我们都可以找到一个与它无限接近的等势面，将带电物体对这一点的作用等价地视为这个等势面上的电荷对它的作用。这就避免了自牛顿以来一直徘徊于力学领域的一个哲学困难，即超距作用⑥。这是汤姆森的工作相对于拉普拉斯、泊松，以及高斯、格林的一个重要的独特之处。而对等势面概念的依赖可能也构成了汤姆森不得不采用热传导类比的原因之一——当时他脑中还不存在明确的电势概念，所以不得不大量借用等温面这一概念。

       汤姆森建立这个类比的过程是这样的。首先，对于无限均匀介质中的点状稳恒热源，无论从直观上还是从数学上，容易证明，距热源同样远处的点具有相同的温度——也就是说必然形成以热源为球心的球形等温面。参照泊松对球形导体带电情况的讨论，不难证明，点状热源对等温面外一点的影响可等价于一个均匀分布在该等温面上的球壳状热源，并有：

      

       式中v为球面外一点的温度，

为球壳上的热量密度，

为球面面元，

为球面上各面元到球面外一点的距离。这就是汤姆森论文中给出的(2)式，其形式与带电导体的势函数公式，即本文中的(1)式完全一致。

       这时，汤姆森使用了一个巧妙的步骤。他假设这个球面被一层薄薄的引力性介质包裹，介质的引力密度正比于

。由此，这层引力介质在球面外一点的势函数V将正比于该点的温度v，其在球面外一点的产生的场强F与流过该点的热流f方向相同，大小成正比。从而，对于介质中的任意一点，只要求出温度v和热流f，也就确切地求出了该点的势函数V和场强F，一个静电学问题就这样严格地转换成了一个热传导问题，由此产生的后续数学推论，必然同时适用于热传导问题和静电场——事实上，它必然适用于一切可以用方程组(1)、(2)、(3)或(6)、(4)、(5)来描述的物理现象，因为它正是以这一系列方程为基本命题演绎而来的。

       这个结论不需要任何试错，就实际而言汤姆森也并没有进行过或考虑去进行任何试错。正如前文提到的，在1854年论文重印时，汤姆森撰写了一个长长的题注，并补写了大量脚注，其中详细追溯了其他科学家的相关工作，如果他曾经哪怕稍微考虑过他结论的实验验证问题，那么显然应该在其中有所提及。但实际上他甚至连实验这个词都没有提到。这是因为，对于汤姆森而言，这是一个严格而必然的数学推论，根本不需要诉诸实验。

       2 麦克斯韦的“论法拉第的力线”

       与汤姆孙不同，在麦克斯韦考虑力线与流体之间的类比时，并不存在如(2)～(5)式那样现成的数学对应关系可供参考。事实上，前者甚至还没有确切的数学表达方式——那正是麦克斯韦通过“论法拉第的力线”一文所试图建立的。并且，两人在使用类比时的目的也不太一样。汤姆森用传统上被视为超距作用的静电现象与一种具有相同数学表达形式的连续过程——热传导相类比，以期挖掘出前者的一些尚未被充分理解的性质；而麦克斯韦则是要以那些已经成熟确立的数学物理方程为参照，为一种刚刚被纳入物理学视野的全新物理实体构建出数学表达方式。因此，汤姆森可以根据两组数学公式的一致性直接在两种物理现象间建立等效关系，最多只需要一个系数，而麦克斯韦则需要另一种策略。

       不过对于麦克斯韦而言，也并非全无头绪。在“电的实验研究”第28辑中，法拉第以他独特的表述方式对力线做出了如下描述：

       3071.一根磁力线可以被定义为这样一根线，我们可以用一根非常小的磁针来描述它，当这根磁针沿着与它长度相应的两个方向中的任何一个移动，而磁针恒为移动路线的切线……

       3072.这些线……在相反的方向上具有相反的性质和状况……

       3073.还有一点对于这些力线的定义同等重要，那就是它们代表了一个确定的和不变的力的数量……线上一个给定部分的任意截面所包含的力的总量总与同一根线的任意截面上的力的总量确切相等，无论线的形状如何变换，也无论它们在下一处聚拢还是分散。[Faraday 1852a]

       其中第三段陈述至为重要，这使力线成为了一种可以被定量理解的物理实体，而不再仅仅是定性概念。法拉第同时给出了充分的定量实验证据为以上陈述——尤其是第三条陈述提供支持。

       在紧接着的另一篇论文“论磁力线的物理特性”中，法拉第又补充了有关磁力线定量性质的另一陈述：

       3259.……(磁铁)外部和内部的力线在数量上保持相同，无论第二块磁铁或软铁存在还是被移开。改变的仅仅是外部力线的排布(disposition)；它们的总量，以及因此，它们的存在，保持相同。[Faraday 1852b]⑦

       此前的很多讨论实际已隐含了这一理念，但一直没有明确表述出来。显然，这一陈述符合作为物理学基本假设之一的守恒律原则的期待，同时法拉第，如他一贯的风格，为这一陈述给出了坚实的实验基础。将这条陈述与上一条结合起来，并推广到静电力的情况，可表述如下：

       由确定的磁极或带电物体所发出的力线根数保持不变，且单一力线包含的力的数量自始至终保持不变。

       尽管法拉第的论述所直接针对的是磁力线，但他在论文将要结尾的地方又写道：“无论我们援用什么概念来表示这种力，它最终应该把电力包括在内，因为这两种力的关系是如此密切，以至于一种表示方法它们两个应该都能用。”[Faraday 1852a]而在“论磁力线的物理特性”中，他更分别讨论了不同种类力的力线，包括万有引力和静电力。[Faraday 1852b]因此当麦克斯韦在1854年开始将注意力转移到电学上时，一开始就是以力线图景来理解电现象的。[Maxwell 1854b]

       相对于法拉第，麦克斯韦对力线概念作了一点小小的改进。法拉第在描述力线时大量使用了“聚拢”、“分散”、“排布”这样的表述，直观上给人以力线在空间中不连续排列，力线与力线被不含力线的空间彼此隔绝这样的印象；而麦克斯韦则要求“以曲线填满全部空间，用它们的方向指示任意一个指定点的方向”。[Maxwell 1864]这个改动是顺理成章的，因为很明显，无论对于电场还是磁场，在空间任意一点都可以测到它的场强，并不存在任何场强为0的缝隙，因此力线当然应该是充满整个空间的。由此，鉴于从单一源头发出的力线的根数保持不变，对于——比如点电荷电场而言，相比于电力线随着与电荷距离的增加越来越稀疏的图景，更贴切的想法是认为电力线变粗了，但它所携带的静电力的量始终保持不变，力线横截面上的面密度降低。

       这就是麦克斯韦撰写“论法拉第的力线”时所掌握的力线的基本图景，而把它们翻译成数学语言实际上并不困难。鉴于前人在数学物理领域的丰富遗产，麦克斯韦甚至不需要自己动手构建新的公式。如果说汤姆森的类比是已知两种物理现象的数学表达形式一致，藉此建立两种现象的对应关系；那么麦克斯韦所要做的就是在众多已知的数学物理公式中选择一组与他的要求确切相符的。

       正如汤姆森对热学的熟悉，麦克斯韦精通流体力学，在他刚开始接受数学物理训练时那就是课程中最重要的部分之一。他也熟悉汤姆森的工作，后者正是麦克斯韦在电磁学领域的引路人⑧，同时当时已成为除法拉第之外的力线理论最重要的鼓吹者，并且他也已经进一步澄清和发展了他在“论热在匀质固体中的匀速运动”中触及的等势面概念。在上述论文中，汤姆森已经使用了静电力与流的类比，并且使用了通量等概念。因此流体的类比成为了麦克斯韦的一个很自然的选择。

       相对于汤姆森的热流，麦克斯韦选择用液流——确切地说，一种严格遵循且只遵循以下规定的不可压缩流体的液流来进行类比：

       流体的一部分在任意瞬间占据一个给定的体积，则在接下来的任意瞬间，它将占据一个相等的体积。[Maxwell 1864]

       这样做的优点在于，可以将力线所涉及的定量问题完全转换为直观的、可以用基本几何学定律严格求解的几何学问题，并且不需要依赖诸如热传导理论这样的性质假设。

       麦克斯韦由此建立起了力线与通过毛细管的液流之间的类比。基于基本的几何学原理和麦克斯韦赋予液体的不可压缩性质，单位时间内通过一根毛细管上任何一个横截面的液体流量必然相等，而为了保证这一点，随着毛细管在不同位置上的粗细变化，液流通过时的流速将与所通过的截面面积保持反比例关系，前者正对应于法拉第所说的力线所包含的力的数量，后者则对应于空间中某一确定点的场强。

       这一模型已经满足了法拉第对力线的描述。但尚不能把电势、电动势，以及他从汤姆森那里学到的——等势面等至关重要的概念包括进去。在这个问题上，流体力学中的压强概念提供了一个完全贴切的类比对象。正如液体内部的压强差将驱动液体流动，电动势(electromotive force)⑨，就其本意而言，则扮演着力线上的驱动力。

       由(2)式，可知空间一点上电势和场强的关系应满足：

      

       负号代表电势沿场强方向降低。如果上式取定积分，则得到的就是两点之间的电动势。考虑在场强方向上相距为Δι的两个点，Δι的取值非常小以至于场强在两点间的变化可忽略不计，则它们之间的电动势为：

      

       对于毛细管中的流体而言，这就要求流体内部的压强沿流动方向逐渐降低，直到在无限远处趋近于0。为此，麦克斯韦将阻力引入毛细管，规定一段毛细管中的一个液元受到的阻力正比于它的流速。⑩这样，液元前后表面上就出现了压强差：

      

       其中k为阻力系数，h为液元厚度，当k取1，则其形式与(7)完全相同。

       由此，麦克斯韦就建立了一个能够与静电现象完全对应的流体模型。而且很明显，与其说他是在从真实的流体中寻找与力线的天然相似点——或曰积极类比，倒不如说他是在按照他所了解的力线性质量身定做一种符合需要的流体。无论是对于流体性质的精心设定(11)，还是他对于毛细管中的阻力，以及相应的，毛细管两个截面上的压强差与流速之间的正比关系的规定，都体现了这一原则。正因为如此，鉴于这个模型中各个量的性质及其相互关系完全根据与之相对应的电学量的性质精确设定，并且这个系统只按照最基本的几何学定律运转，因此由这个模型所推出的一切数学推论必然能够作为相应静电现象的准确的数学表述。

       当然，尽管可以提供对静电现象的良好的数学表述，但麦克斯韦的毛细管模型距离全面模建完整的电磁相互作用尚存在差距。比如，在“论法拉第的力线”第一部分结束时，麦克斯韦承认他的理论尚无法将法拉第所重视的“电应力状态”概念包括进去，后者用这个概念来解释电磁感应现象。然而与其说这是电现象与流体现象之间的“消极类比”，倒不如说这是由于麦克斯韦没有为他的不可压缩流体赋予相应的性质。在后来的工作中，他再次依据需要调整了模型，问题也就迎刃而解了。

       四、物理类比方法与麦克斯韦的“数学分类”

       综上所述，无论汤姆森的静电力—热流类比，还是麦克斯韦的力线—毛细管类比，都不是仅凭甲性质存在就臆测乙性质也存在的猜谜—试错式类比，与所谓的“取象比类”式“类比”更完全没有可比性。他们的物理类比方法实际上仍然属于演绎推理的范畴，尤其麦克斯韦的类比，所援用的几乎都是最基本的几何推理，这些过程的数学严格性决定了其结果的严格性。

       当然，对这种严格性的论证同样需要一个先验条件来支撑，那就是相信数学公式能够表述物理世界，或者更直接地说，对数学结构与它所表述的物理现象之间的同一性的信念。因为严格地说，数学公式本身也只是对物理世界的一种形式类比，而两种由完全不同的质料——理念的和物理的——构成的事物之间的形式类比何以可能，本身就是一个比本文所讨论的问题更加困难的议题。[Lambert 2011]但是对于现代的数理科学家，特别是对于汤姆森、麦克斯韦等剑桥数学物理传统的继承者而言，这又是一个必须默认的前提，因为如果连这一点都不承认，那么自《自然哲学之数学原理》以来的全部数理科学就都成了空中楼阁。

       另一方面，对于麦克斯韦来说，物理类比方法的意义绝不仅仅止步于一种在确保结论可靠的前提下相对简便的推理方法，也不仅仅是借助一个成熟研究领域中的知识为尚未被充分探索的新领域提供洞见——这当然包括在麦克斯韦使用物理类比方法的目的当中，但同时在他的目的中，也包括要让后者对前者提供洞见，以及更重要的“使它们互为阐释”。[Maxwell 1864]

       更进一步，两个乃至更多不同领域中的现象具有几乎相同的数学表达方式的事实，以及这种现象的广泛存在，使麦克斯韦逐渐意识到，可以打破具体物质构成的樊篱，完全从数学结构出发，将具有相同数学表达形式的现象当成同一种对象来研究——这就是他的“数学分类”(Mathematical Classification)思想。这一思想成熟于1870年左右，他先后在1870年秋[Maxwell 1871a]和1871年春[Maxwell 1871b]的两次演讲中阐述了这一思想。其中后一次演讲可以视为他确立完整的数学分类思想的纲领性文件，他在文中提出，存在两种对物理量进行分类的方法，一种是惯常的，按照它们所属的物理学分支，如声、光、电、热、力……分类——他称之为物理分类法；另一种就是根据数学或曰形式类比来分类，即数学分类法。他还提到前人对电现象与磁现象的类比，以及汤姆森的静电力-热流类比，指出：“很明显，所有这种类比都依赖于一种更基本的天性的原理”——而这种更基本的天性，对于麦克斯韦来说，显然就是它们的数学天性。

       在今天，这一“数学分类”的理念，尽管很少得到明确论述，但实际上早已在整个科学领域——不仅仅是物理学中——广泛使用，并几乎已成为缺省配置了。用著名物理学家费因曼(Richard Feynman)的话说——“同方程同解”(The same equations have the same solutions)[Feynman 1963]，这已成为几乎所有数理科学家奉行的一条最朴素真理。今天的每个物理系学生学术训练中最重要的部分之一就是熟记一大堆数学物理方程，并学会在遇到某一问题时正确地选出其中一个套用。其中最大名鼎鼎的包括波动方程、拉格朗日方程、哈密顿方程，等等。而同一方程的跨学科使用更加引人注目，比如渗透理论同时适用于铁磁性、果园里的真菌侵染扩散、森林火灾扩散，乃至萤火虫闪光同步等各种问题，而这还远非最奇特的例子。[Humphreys 2004，67-72]

       物理类比方法与“数学分类”思想的结合使麦克斯韦在某种意义上与作为问题始作俑者的亚里士多德产生了某种奇妙的共鸣。在亚里士多德那里，类比同样是与“类”的概念密切结合在一起的。并且亚里士多德提出的对事物进行划分的两种方法——根据特殊事物的共同x特征确定它们的种，如人、马、鸟等等；和“类比”的方法，将“乌贼的利鳍、鱼的脊骨，以及动物的骨头”归于一类[亚里士多德2003，页，338-339]——和麦克斯韦的物理、数学两种分类方法形成了意味深长的对应关系。

       然而借助从麦克斯韦身上获得的洞见反观亚里士多德，可以发现后者恰恰在一个问题上语焉不详。即：当一个人使用类比或曰“例证”的时候，比如，在利用“忒拜反对福奥克斯的战争是坏的”这一命题来论证“反对忒拜的战争是坏的”的时候，使二者成其为一类的共同属性——反对邻邦的战争——与“坏”这个词项间有无必然的因果关系。

       对于麦克斯韦而言，这一点是明确的。麦克斯韦，包括汤姆森，通过物理类比方法所论证的东西，与论证所涉及的两种物理现象的共同特征——即它们的数学形式——之间存在必然的因果联系，最终的结果是根据这些因果联系——而不是根据看上去的相似性——导出的。而对于亚里士多德的“例证”而言，问题正在于“反对邻邦的战争”与“坏”这两个词项间的因果关系没有得到确证。

       注释：

       ①作为对类比方法的正当性论证之一，麦克斯韦曾经提到，为了获得关于一个主题的清晰理念，科学家常常需要“试着从他所更加熟悉的对象中精心选择一个图示(illustration)，通过这个图示来理解对象”。[Maxwell 1871]

       ②强调部分是原文所加。

       ③如Humphreys 2004，22-25。

       ④“势函数”一词最先由英国物理学家格林给出[Green 1828]。但从汤姆森1854年的题注可知，撰写“论热在匀质固体中的匀速运动”一文时汤姆森显然还不了解格林的工作。

       ⑤参见Wise 1981中的讨论。

       ⑥尚未能找到证据证明汤姆森撰写该论文时，作为一个十几岁的少年，已经有意识地考虑到了超距作用问题。但显然这至少应该包括在他1854年重新发表这篇论文时的考虑之中。在重印版论文的题注中，他特意提到法拉第的力线理论，认为这篇论文中涉及的理念与力线理论一致(事实上将相邻等势面上的场强矢量F沿着它们的方向用一条光滑曲线连接起来，就是法拉第的力线)，并宣称法拉第使用的“力线的传导力”之类的术语包含了这种理念。

       ⑦强调部分是原文所加。

       ⑧关于麦克斯韦在流体力学方面的训练以及汤姆森在电磁学领域对麦克斯韦的影响，参见Harman 1998。

       ⑨参见Maxwell 1854b，麦克斯韦将其理解为两点之间的电势(或者用麦克斯韦的表述：电张力)差。

       ⑩考虑液元非常小，这段毛细管上的截面积变化可以忽略不计。另，麦克斯韦原文使用的是阻力一词，但实际上作为与压强相对应的量，他考虑的其实是作用于单位横截面积上的阻力。

       (11)如麦克斯韦本人所说：“这甚至不是一种被引入进来解释实际现象的假想流体。它仅仅是一个想象中的性质的集合，借用这些性质，我们可以以一种，与单独使用代数符号的方法相比，对很多头脑而言更易理解且对于物理问题而言更为适用的方法，确立某些纯粹数学上的理论。”[Maxwell 1864]

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