确定缴费养老计划退休后期最优投资决策
□文/王 静1伍慧玲2
（1.中央财经大学保险学院；2.中央财经大学中国精算研究院 北京）
［提要］ 考虑到很多退休者不愿意在退休时立刻年金化，选择在未来的时刻进行年金化，以期购买到更好的年金，获得更好的退休保障，本文在离散时间模型框架下，研究确定缴费养老计划退休后期最优投资——年金化时刻决策问题。采用目标定位型模型，根据退休者设定的投资目标值，通过最小化实际财富与投资目标的累积差距，求出最优的投资策略。进而通过最大化退休者终身消费均值之和，求出最优化年金时刻。最后通过数值分析手段，研究风险偏好、折现率、终端偏差系数、年金价格对最优化年金时刻的影响。
关键词： 确定缴费养老计划；退休后期；离散模型；年金化时刻；最优投资策略
一、引言
目前我国老龄化情况甚为严重，据国家统计局《2018年国民经济和社会发展统计公报》显示，2018年全国60周岁及以上人口高达24，949万人，占总人口的17.9%，其中65周岁及以上人口16，658万人，占总人口的11.9%7。然而，国际上通常认为当60岁以上人口占总人口的10%，或65岁以上人口占总人口的7%，这个国家就处于老龄化社会。根据这个评价标准，我国已经进入老龄化社会，且老龄化程度远高于世界标准。在老龄化程度越来越严重的同时，养老金缺口也不断增大。根据世界经济论坛的一项分析显示，2015年包括中国在内的8个主要经济体养老金缺口共计超过70万亿美元，而且每年还在继续扩大中。在这样的背景下，如何选择养老计划类型以及如何将养老基金进行优化投资变得异常重要，对于维持社会的健康持续发展，缓解国家的财政压力都有积极的影响。目前，养老计划主要分为两种：一种是确定收益养老计划，一种是确定缴费养老计划。在确定收益型养老计划里，养老金参与者的养老权益是事先确定的，养老金的投资运营风险由雇主承担。在确定缴费养老计划里，参与者的缴费水平是事先给定的，在退休时获得的投资回报取决于养老基金的投资表现，也就是说，投资过程的风险由参与者承担。由两种养老计划的对比可以看出，确定缴费养老计划将养老基金的投资风险转嫁到参与者身上，可以缓解政府的财政压力，有利于解决老龄化问题带来的社会危机。因此，目前大部分国家都采取确定缴费养老计划。
确定缴费养老计划，以退休时刻为分界点，可以分为累积期和退休后期两个阶段。在累积期，养老计划参与者将其工资按一定的比例交到养老基金账户里进行风险投资，试图选择最优的投资策略使得退休时刻的财富效用得到最大。在累积期，养老金参与者面临金融市场价格的波动、通货膨胀等各种风险。在退休时刻，在允许的前提下，退休者可以选择将其在累积期积累的财富进行终身年金化，获得一个终身的消费保障，也可以选择延迟购买年金，在政府规定的强制年金化时刻之前，选择一个合适的时刻购买终身年金。然而，Milchell and Poterba（1999），Mirer（1994）和 Brown（2001）的研究都表明，虽然在退休时刻立马进行终身年金化可以获得一个终身保障，但绝大多数的退休者却很少在退休时刻就主动购买年金，进行累积财富年金化，这种现象被称为“年金之谜”。究其原因，归纳为以下三点：第一，强烈的遗产动机。退休者购买终身年金以后，一旦死亡，账户中的资金将不能作为遗产被后代继承。因此，对于有遗产动机的退休者来说，退休后立刻年金化显然是不合适的。第二，较差的身体状况。对于身体较差的人来说，参与者预期自己的寿命将低于平均寿命，购买终身年金只能领取几年的收益，这是不划算的。第三，年金化后收益率较低。正如Warshawsky（1988）和Mitchell et al（1999）发现的那样，用相同的资金投资其他金融产品相比，年金产品的回报率要低很多。投资能力较好的参与者更希望自行投资，提高年金化时的财富。确定缴费养老计划的两个阶段重要性都是平等的，对于退休后期，因为很多退休者不愿意在退休时立刻年金化，因此研究退休后期的资金管理和年金购买是十分重要的。
目前，已经有很多学者对确定缴费养老计划退休后期管理问题进行了深入的研究。按照优化目标不同，退休后期管理可以分为三类：第一类是最小化财富水平低于抽取消费金额的概率，代表作可以参考Milevsky and Robinson（2000）和Bayraktar and Young（2009）。Bayraktar and Young（2009）还发现推迟年金化可以得到最小破产概率，肯定了延迟化年金的作用。第二类是最大化整个退休后期的财富和消费的CARA或CRRA效用均值之和，代表作可以参考Milevsky and Young（2007）和Stabile（2006）。第三类是目标定位型模型。一些学者认为，推迟年金化的一个重要原因是退休者希望在年金化时能买到更好的产品，因此采用以目标为导向的模型。在目标定位型模型里，退休者会事先设定一系列的投资目标值，通过最小化财富与目标间的差距，找到最佳的年金化时间、投资和消费策略。由于本文采取的目标定位型模型，为了说明本文工作与现有研究的不同，突出本文创新之处，在此我们重点回顾采取目标定位型模型的退休后期最优管理问题的已有研究。Gerrard Haberman and Vigna（2004）不考虑死亡随机率，在连续时间框架下研究了确定缴费型养老计划的最优投资策略。该模型假定退休者所提取的消费金额为常数，并没有遗产动机，得到了最优的投资策略。Gerrand et al.（2004）将Gerrard Haberman and Vigna（2004）的研究进行了拓展，假设消费和年金化时刻是固定的，对有遗产动机的最优策略进行讨论。Gerrard Haberman and Vigna（2006）进一步研究了在死亡率随机的情况下，固定年金化时刻的退休者的最优投资和消费策略。Dadashi（2018）同样假设年金化时刻固定，为了最终能购买到更好的年金，退休者消费率也被限制，同时对最终年金设定最低保证以消除破产概率，然后研究最优的投资-消费问题。Gerrard H jgaard and Vigna（2012）讨论了在政策允许的条件下，从退休到强制年金时刻之间，退休者可选择的最优年金化时刻、消费和投资策略。Wolfram（2008）对选择延迟购买年金的退休者最佳的年金化时间进行了研究，还得出若退休者具有中等风险厌恶的性质，在80岁至85岁之间年金化更合适的结论。
上述目标定位型模型，不管其模型设定如何，其共同点归纳为：（1）他们都是连续时间模型；（2）他们认为，最佳年金时刻为财富水平和财富目标值的差距以及消费水平和消费目标值的差距累积和达到最小的时刻。到目前为止，只有Lin Zeng and Wu（2019）采取目标定位型模型，在离散时间框架下研究了退休后期的最优投资策略，但他们没有研究最优的年金时刻。然而，在何时购买年金，不管是政府部门还是个人退休者，都非常关心这个问题。与连续时间模型相比，离散模型的研究也很重要。首先，离散模型在现实生活中更加实用，因为我们不能连续地调整决策。其次，离散模型和连续模型在研究结果上有许多不同，例如，离散模型中最优投资金额与连续模型中的不完全一致等。最后，离散时间模型和连续时间模型采取的理论基础截然不同，也就是说，我们无法借鉴连续时间模型的求解方法和步骤，去解决离散时间模型决策问题。另外，最佳年金时刻，按照正常的思维理解，应该是使得退休者终身（年金化前和年金化后）消费保障之和达到最大的时刻。鉴于上述原因以及现有的研究现状，本文拟求解退休后期的离散时间动态多期最优投资-购买年金决策模型。
本文的创新之处在于：（1）采取目标定位型模型，首次在离散时间框架下对最优年金时刻进行了讨论；（2）在目标定位模型框架下，摒弃传统的最优年金时刻的评价标准，以最大化累积消费为目标，建立了全新的最优年金时刻的评价标准；（3）详细分析了风险偏好、折现率、终端偏差系数、年金价格对最优化年金时刻产生的影响，结果能和年金之谜的现象吻合。
1、年金价格不带附加费用。当消费倍数k=1.2时，ε=1～6时，退休者最优年金化时刻都是在67岁；当消费倍数k=1.02时，ε=1～6时，退休者最优年金化时刻都是在60岁。这说明，年金价格较低时，无论消费倍数取较大值还是较小值，终端系数对最优年金化时刻的影响都较小。当退休者的终端系数发生小范围变化时，其最优的年金化时刻不变。
“因为你的羊儿叫得很好听，你的歌儿很动听，你的这种生活让人向往，你的人很憨厚，这是那些什么都有的人没有的。”草儿很认真地望着牧儿说，脸也不禁泛上了红晕。
二、模型介绍
我们考虑下面的离散时间模型，假设在时刻0退休，政府规定的强制购买终身年金时刻是T，退休者在时刻0不一定选择购买终身年金，他可以选择0到T时刻之间的任何适当时刻进行终身年金化，在年金化之前的时刻n，他定期从养老基金账号里取出ξn用于消费，且将消费完的财富投资在一个无风险资产（银行存款）和一个风险资产上。假设在时刻n，无风险资产和风险资产的回报分别记为rnf和Rn，πn是投资在风险资产上的金额
是风险资产的回报超过无风险资产的部分，那么财富水平
的递归方程是：
退休者想找一个最优的年金时刻，评价的标准是使得终身消费均值的累积和达到最大。具体地说，若H*（0≤H*≤T）是最优的年金时刻，那么从时刻0到H*-1的累积消费与购买终身年金后提供的终身消费保障之和达到最大。退休者通过下面两个步骤达到自己的目标：
（三）折现率对最优年金化时刻的影响
步骤一：退休者根据个人情况，在每个时刻n对未来的投资回报设定目标值，记为Fn，这个目标值的设定是为了监督投资过程的回报，使得在年金时刻能有更多的财富用于购买终身年金。因此，退休者在年金化之前的投资策略会受到目标值Fn的影响，为了尽可能拉近真实的投资财富和目标值之间的差距，令H为年金时刻，退休者采取如下的目标定位型模型：
将年金价格的两种情况进行对比，较高的年金价格，会让最优年金化时刻对终端系数更敏感一些。同时，年金价格越高，退休者越倾向于推迟购买年金。因为在年金化之前，退休者均自行投资，终端系数会对其选择年金化时刻产生影响。
步骤二：在H时刻，退休者根据上述指导方向得到了财富水平XHπ*用于购买终身年金，若当时的年金价格记为a¨H，那么从时刻H开始到平均死亡时刻Γ为止，每年得到的消费水平是XHπ*/a¨H。于是在生存期内，因为选择时刻H购买年金，退休者的终身累积消费折现均值是：
在这里，我们假设平均死亡时刻Γ大于强制购买年金时刻T。这个假设是合理的，因为政府制定的强制年金时刻是为了保护大部分退休者的投资安全，因此国民在退休时刻的平均剩余寿命要比延迟年金化周期长。
三、问题P（H）的最优投资策略和最优值函数
1、年金价格不带附加费用。当k=1.2时，得到表4。（表4）
证明：定理的证明过程与LinZeng and Wu（2019）类似，在此略。
这是一个递归式子，从时刻0开始进行递归。利用式（5）和（2），在下一章里，我们利用数值分析手段，计算最优的年金时刻，以及一些参数对年金时刻的影响。
四、数值分析
我们参考美国个人退休账户（IRA）设定的退休制度，参与者在年满59.5岁后方可领取IRA退休金，年满70.5岁必须开始支取账户金额。因此，在数值分析的过程中，假设60岁退休，70岁是强制年金时刻。令退休时刻为0时刻，那么强制年金时刻是T=10。从时刻0到年金时刻之间，退休者领取的消费金额为常数
，且设
，即为零时刻购买终身年金所提供的消费标准。目标值设为
，若在时刻n购买了终身年金，这个目标值能提供的消费金额为时刻0购买终身年金提供的消费金额的k倍。因为退休者在经过风险投资后，希望获得更好的保障。为简单起见，设每一年的无风险资产回报设为常数，根据1990～2018年Daily Treasury Yield Curve Rates的数据，我们设无风险资产回报
=1.0307。假设风险资产的随机回报Rn在每一期的平均值和方差都相同，根据道琼斯指数1990～2018年的市场表现，令E（Rn）=108.94%，Var（Rn）=2.17%。考虑到退休者对最后一期是否达成目标较为看重，设终端系数ε=3。参考Yogo and Koijen（2016），设定退休者的主观效用贴现因子为0.96，即1/1+ρ=0.96，ρ=4.17%，折现率为 0.0417。采取美国2015年混合生命表，附加费率为15%，利用终身年金计算公式，得到各期的终身年金价格为（从60岁到70岁）a¨n（n=0，1，…，T+1）：19.06 18.63 18.20 17.75 17.31 16.86 16.40 15.93 15.45 14.98 14.50，求解最优的年金化时刻。
一部优秀的动漫作品，往往凝聚着许多小说家、歌手和音乐人的血汗，而我国动画延续日式风格，无法得到社会认同。如何提升动漫学生见识及创新能力是关键。
（一）消费倍数（即风险偏好）对最优年金化时刻的影响
1、年金价格不带附加费用。消费倍数k代表着退休者的风险偏好程度，若k取值比较小，说明退休者对退休后的投资目标值设置较低，不喜欢承受太高的投资风险。然而，退休者之所以延迟退休，是希望在退休后期通过投资活动，在最终的年金化时刻得到更好的消费保障，因此一般来说，k是大于1的。表1表明，哪怕消费倍数只有1.06的低值，退休者都不会在退休时刻立马将其财富年金化，这个结果和年金之谜呈现的结果完全一致。另外，随着消费倍数的增加，最优时刻向后推迟。消费倍数越高，消费者对未来消费的目标设定越高，对未来财富期待越高，喜爱风险的退休者不会在60岁年金化，获取固定收益，更愿意自己投资。另外，年金化后收益率较低，退休者若想达到更高目标，获取更高收益，将会推迟年金化时刻。但随着目标继续升高，退休者最迟愿意在68岁年金化，可能受限于身体状况和自身的投资水平，年纪大了更愿意依靠年金保障自己的生活，因此设定过高的目标不会继续推迟年金化。（表1）
2、年金价格带附加费用。年金价格带附加费用，随着消费倍数增加，最优时刻也向后推迟，与不带附加费用的结论一致。随着目标继续升高，退休者同样最迟愿意在68岁进行年金化，设定过高的目标不会继续推迟年金化。（表2）
将是否带附加费用的两种情况进行对比，带附加费用的年金价格较高。在其他条件不变的情况下，年金价格越低，退休者越会提前购买年金。年金的低价格会让退休者在年金化后，实现更多消费，更容易达到设定的目标，因此提前年金化。
（二）终端系数ε对最优年金化时刻的影响
设计意图：通过铺设梯度，两个活动都巧妙地化解了本课的难点，用形象地模型建构清晰地梳理了物质循环和能量流动的规律，帮助学生实现了概念的螺旋式上升。至此，学生能够更好地解答“一山不容二虎”的奥秘。
本文结构如下：第2节介绍了本文所使用的模型，第3节详细论述如何求解最优化年金时刻，第4节进行数值分析，探讨当影响因素发生变化时，最优年金时刻如何变化，然后是全文的总结。
在充分考虑了国内外类似产品现状的基础上，针对其他产品存在的重载启动困难、结构复杂、易损件寿命短等技术缺陷，通过优化设备结构、提升控制水平，使用新型材料等手段，研制了性能优异的KLM立磨机，其基本结构如图1所示［4］。
2.进一步挖掘财务数据价值的重要方法。如果将企业财务部门看作是一个“生产车间”，那么其“产成品”就是会计报表，包括资产负债表、利润表、现金流量表。企业决策层、政府相关部门以及企业相关利益人是这些“产成品”使用者，要通过这些“产成品”来获取企业过去生产经营情况，并基于这些信息，对企业未来发展做一个基本判断。进行财务报表分析，就是对这些“产成品”进行二次加工，为企业相关利益人提供更加“精致”产品。比如，财务报表分析可以利用杜邦分析法，通过几种主要的财务指标数据之间关系来综合地分析企业的财务状况，为企业相关利益人可以更好地评价公司赢利能力和股东权益回报水平。
年金价格较高时，只有当消费倍数的数值较低时，终端系数的影响才会敏感一点，说明终端偏差系数对年金时刻的影响较小。消费倍数数值较大时，改变终端系数，不足以影响退休者选择终身年金化的时刻，退休者最优年金化时刻都是在67岁。但当消费倍数数值较低时，终端系数越大，退休者对最后一期是否达到目标越看重，会推迟年金化。
记这个模型的最优策略为
那么在这个最优策略下的财富过程记为
猕猴桃果酒：实验室自制，酒精度10% vol；乙醇、异丁醇、异戊醇均为色谱纯，购于上海阿拉丁生化科技股份有限公司；亚硫酸钠、盐酸副玫瑰苯胺、甲醛、FC显色剂、碳酸钠、一水合没食子酸均为分析纯，购于成都市科隆化学品有限公司。
2、年金价格带附加费用。当k=1.2时，ε=1～6，退休者最优年金化时刻都是在67岁；当k=1.02时，最优年金化时刻见表3。（表 3）
求解最优的年金时刻H*，使得
按照上面的步骤，我们先求解相对固定H时的优化问题：
消费倍数取值较高时，当折现率越高，退休者对等待未来回报的耐心越小，他就越偏向于提前购买年金。当折现率在4.17%附近进行波动时，退休者的最优年金化时刻在67岁。
对于行政事业单位来说，强化会计内部控制意识主要是为了发挥会计作用，保证行政事业单位可以依照当前的经济形势采取相应的经济管理措施，促进单位经济资源的高效利用。上级单位应加强行对行政事业单位领导的内部控制培训工作，将会计内部控制效果与考核相挂钩，从而树立单位领导层的内部控制理念，重视会计内部控制工作，积极主动去深入研究会计内部控制工作及办法。基层财务管理人员也应积极提高自身的责任意识和会计内部控制意识，多层次多方面提高自身业务管理水平，从而强化会计内部控制工作在实际执行过程中的水平，促进行政事业单位会计内部控制工作有效性提升。
当k=1.02时，无论折现率取何值，最优年金化时刻都是60岁，不敏感。消费倍数值较低，说明退休者是风险厌恶者，希望提前购买年金，而不带附加费用的年金价格也较低，退休者很容易达成设定目标，所以会在退休时就选择年金化。
2、年金价格带附加费用。当消费倍数k=1.2时，我们得到表5。（表 5）
表1 低年金价格下k对年金化时刻的影响一览表
表3 ε对年金时刻的影响一览表
表4 低年金价格下折现率对年金化时刻的影响一览表
表2 高年金价格下k对年金化时刻的影响一览表
表5 消费倍数下折现率对年金化时刻的影响一览表
表6 低消费倍数下折现率对年金化时刻的影响一览表
表5表明，消费倍数取值较高时，当折现率越高，退休者越偏向于提前购买年金。当折现率在4.17%附近进行波动时，退休者的最优年金化时刻在67岁。当消费倍数k=1.02时，我们得到表6。（表6）
保存在沉积物中的微体化石（浮游生物）最为漂亮，并且含有丰富的信息，尽管有些化石的宽度比人类头发丝还要小。就像大型植物和动物化石一样，科学家可以利用这些钙和硅的精细结构重构过去的环境。
辐射环境监测工作的开展，需要工作人员积极的参与到其中，其监测水平以及综合素质，在很大程度上影响着监测质量。在这种情况下，我们就要采取一系列有效措施，做好对监测人员的教育培训工作，促进其监测水平以及综合素质的提升，更好的参与到接下来的监测工作当中。与此同时，我们还要积极的引进更加先进的环境监测仪器设备，在切实提高辐射环境监测能力的同时，确保最终的监测质量。
表6表明，消费倍数取值较低时，最优化年金时刻对折现率的不敏感，当折现率在4.17%附近进行波动时，退休者的最优年金化时刻在63岁。将年金价格是否带附加费用的两种情况进行对比，较高的年金价格让最优化年金时刻对折现率更敏感一些。同时仍能得出结论，年金价格越低，退休者越倾向于提前购买年金。在年金化之前，退休者均自行投资，折现率的大小会对其选择年金化时刻产生影响。
五、结语
本文研究了在离散时间模型下确定缴费型养老计划最优的年金化时刻，采用目标定位型模型，通过最小化实际财富与目标的差距，求出了最优的投资策略。进而通过最大化退休者终身消费均值的积累和，求出最优化年金时刻。通过数值分析，证明了几乎很少人在时刻0就立马年金化累计财富。肯定了延迟化年金的优势。并对会影响年金时刻的变量进行分析，探讨其敏感性。得到的相关结果如下：（1）随着消费倍数k增加，最优时刻向后推迟，退休者最迟愿意在8时刻年金化，设定过高的目标不会继续推迟年金化。（2）只有当k的数值较低时，终端系数的影响才会敏感一点，说明终端偏差系数对年金时刻的影响较小。当k较低时，终端系数越大，退休者越会推迟年金化。（3）当k取较大值时，折现率会对最优年金化时刻产生影响。折现率越大，退休者对等待未来回报的耐心越小，就越偏向于提前购买年金。k取值较小时，折现率不敏感。（4）将年金价格是否带附加费率的两种情况进行对比，较高的年金价格，会让最优化年金时刻对终端系数和折现率更敏感一些。并且年金价格越低，越会提前买年金。
虽然本文对离散时间模型下最优年金化时刻及其敏感性进行了分析，但仍存在一些局限，比如本文提到的目标形式，会造成上方惩罚，未对没有上方惩罚的目标形式进行讨论，这也是接下来要继续研究的方向。
主要参考文献：
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基金项目： 国家自然科学基金项目（编号：11671411）；中央财经大学科研创新团队支持计划项目
中图分类号： F840.67
文献标识码： A
收录日期：2019年5月5日
标签：确定缴费养老计划论文; 退休后期论文; 离散模型论文; 年金化时刻论文; 最优投资策略论文; 中央财经大学保险学院论文; 中央财经大学中国精算研究院论文;