福建省南安市第三中学 362305
摘 要：空间几何体的外接球问题是全国卷高考热点，求出外接的半径是解决这类问题的关键。
关键词：外接球 半径 长方体对角线 截面圆 距离
福建省今年开始加入全国卷1的高考考试，对所有的高三学生来说，都是不小的挑战，众所周知，全国卷1的难度大于福建省自己命题的难度。在立体几何这个模块中，福建卷没有考查球的知识，而全国卷的选择题 、填空题经常涉及旋转体，考查球的表面积、体积，特别是常设计把柱、锥内接于球内，再进一步求解球的表面积或体积，即考查空间几何体的外接球的问题。通过几何体的外接球的问题，能很好地考查学生的空间想象能力以及化归能力,所以空间几何体的外接球问题，一直是全国卷数学考试的热点。下面就近几年高考中涉及的几何体外接球问题进行分析,找出其中的规律,以便各高三学生更好地迎接高考。
定义1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球。
定义2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切， 则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球。
球心到截面的距离d与球半径R及截面的半径r有以下关系：r2=R2-d2。
球面被经过球心的平面截得的圆叫：大圆。被不经过球心的平面截得的圆叫：截面圆。
球的表面积表面积S=4πR2；球的体积V= πR3。
关于空间几何体的外接球问题，主要可以从以下几个方面入手解决：
一、借助正方体或长方体的对角线
1.棱长为a正方体的外接球的直径等于正方体的对角线，即2R＝ 3a2。
2.边长为a,b,c的长方体的外接球的直径等于长方体的对角线，即2R= a2+b2+c2。
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二、利用截面圆半径与球半径及球心到截面圆距离的关系，即R2= r2+d2
空间几何体的外接球问题，主要还是半径的求问题，根据历年的高考，可以看出要求外接球的半径，主要有以下几种方法：
1.公式法：涉及到球的截面问题，可使用公式R2=r2+d2解题，可利用两个量求第三个量，也可以利用三个量之间的其它关系求解。
例1（2016汕头市质检）：某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球表面积为（ ）。
A．4 3πB．12π
C．24π D．48π
解：由三视图可知几何体为三棱锥P-ABC，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA=AB=BC=2，取PC中点O，AC中点D，连结OA，OD，BD，OB，则AC= AB2+BC2=2 2,PC= PA2+AC2=2 3。
∴OP=OC= 3，OA= PC= 3，BD= AC= 2，OD= PA=1，∴OB= OD2+BD2= 3，
∴OA=OB=OC=OP，∴O是棱锥P-ABC外接球的球心，外接球半径r=OA= 3，
∴外接球表面积S=4πr2=12π。
故选B。
变式：一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为 ，底面周长为３，则这个球的体积为______。
2.补形法：将所提供的几何体补成一个正方体或长方体，使得该几何体的外接球与对应正方体（长方体）的外接球重合，则所求的外接球的直径等于该（正方体）长方体的对角线。
例2：正三棱锥P-ABC的底面边长为2且PA⊥PB，则该三棱锥的外接球面积为（ ）。
解：由已知三棱锥的三条侧棱两两垂直,其侧棱长为 2，故将其补成棱长为 2的正方体，可求外接球的直径为正方体的对角线长 6，所以S=4πR2=6π。
变式：（2016全国卷）体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（A）。
A.12πB.32π/3C.8πD.4π
3.构造直三角形，巧解正棱柱与球的组合问题。正棱柱的外接球，其球心定在上下底面中心连线的中点处，由球心、底面中心及底面一顶点构成的直角三角形便可得球半径。
例3（2016泉州市质检）：已知正三棱柱ABC-A1B1C1底面变长为2 3，高为3，圆O是等边三角形ABC的内切圆，点P是圆O上任意一点，则三棱锥P-A1B1C1的外接圆的表面积为（ ）。
解：设正三棱柱ABC-A1B1C1的下底面的中心为O1，设三棱锥P-A1B1C1的外接球的半径为R，其球心G在直线OO1上，则GP=GB=R，OO1⊥O1P，OO1⊥O1B1，在Rt△GOP和Rt△GO1B1中，OP=1，O1B1= × ×2 3=2,设GO=x，则GO1=3-x，由GO2+OP2=GP2，GO12+O1B12=GB12得GO2+OP2=GO12+O1B12，即x2+12=（3-a）2+22得x=2，所以R2=22+1=5。因此，三棱锥P-A1B1C1的外接球的表面积为S=4πR2=20π。
变式：已知三棱柱ABC-A1B1C1的六个顶点在球O1上，又知球O2与此正三棱柱的5个面都相切，求球O1与球O2的体积之比与表面积之比。
分析：先画出过球心的截面图，再来探求半径之间的关系。
论文作者:刘淑芽
论文发表刊物:《教育学文摘》2017年1月总第215期
论文发表时间:2017/1/10
标签：外接论文; 几何体论文; 球心论文; 棱柱论文; 正方体论文; 表面积论文; 棱锥论文; 《教育学文摘》2017年1月总第215期论文;