杭州市风华中学 浙江 杭州 310000
方格纸问题是近年来中考的热门话题，新颖的题目层出不穷。方格纸问题常常结合直线、三角形、四边形、圆等知识点进行考查，很少涉及抛物线。带着对于“方格纸中的抛物线”这一新组合的期待，我们开始探索，形成了中考模拟卷第20题。其过程如下：
一、素材分析
二次函数的图象和性质较为复杂，而方格纸能有效地进行图象的表示、分析和变换，因此方格纸和抛物线的组合极有可能擦出火花。
方格纸即是坐标线，又是分割线（含边界线）。作为坐标线，它能有效地表示图象及其变换，助力学生把复杂的数学问题变得简单形象。作为分割线，通过方格纸的切割，对于抛物线某一段的性质可以有更清晰的解读，方格纸边界线又能聚焦一定范围内（比如a×a）的情况。这些都让学习研究变得更专注、更“经济”。方格纸协助学生进行有效的图形分析，从局部视角了解抛物线这个复杂的整体是可行的。
二、命制过程
第1稿：图美数不美
如图1，A、B、C是5×5的方格纸上的三个格点，设每一方格的边长为1个单位。
（1）以点B为坐标原点，建立平面直角坐标系，求出过A、B、C三点的抛物线解析式。
（2）在（1）的条件下，求出在方格纸上的函数图象所对应的自变量的取值范围。
（3）如何平移抛物线可以使得顶点为格点A？
图1
参考答案：（1）y= x2+ x；（2）0≤x≤1.6或2≤x≤ ；（3）∵顶点坐标（ ， ），∴向右平移 个单位，向下平移 个单位，可以使得顶点为点A。
设计意图：本题以方格纸为载体，考查的是平面直角坐标系的建立，用待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图象和性质，体现的数学思想有数形结合、函数思想，发展了几何直观。试题显示了对于核心知识、数学思想方法的考查，对于教学有很好的导向作用。
第（1）问主要是借助方格纸的直观可操作性，考查了坐标系的建立和坐标的表示、待定系数法求解析式。
第（2）问主要是借助方格纸分割线的作用，考查了两段图象对应的自变量的取值范围。
第（3）问主要是通过对称性和计算，准确地把方格纸外的图象平移到方格纸内，以点带线使得被分割的图象变回完整。
纵观试题，经过3个问题的考查，诠释了培养学生几何直观的多种手段，培养了学生画图的习惯，加强了学生几何直观素养的培养。
参考答案显示的数据较为繁琐，学生势必会花费大量的时间进行计算。而对于计算能力的考查不是本题的要求，所以试题还有待进一步的改进。
第2稿：数美图不美
如图2，A、B、C是9×9的方格纸上的三个格点，设每一方格的边长为1个单位，过A、B、C三点有一条抛物线．现以点B为坐标原点，建立平面直角坐标系。
（1）求抛物线解析式。
（2）求在方格纸上的函数图象所对应的自变量的取值范围。
（3）如何平移抛物线可以使得顶点为格点A？
图2
参考答案：（1）y=-x(x-4)；（2）0≤x≤1或3≤x≤2+ 5；（3）∵顶点坐标（2，4），∴向右平移1个单位，向下平移1个单位，可使得顶点为点A。
提干中方格纸规格是正方形且a≥BC+1。新的问题来了，一方面9×9的方格纸线过于密集，越密的方格纸越显得试题难度大，对于学生解决问题的阻力越大；另一方面过A、B、C三点的抛物线主要分布在6×9区域内，方格纸浪费较多。综合2稿的设计缺陷，我们对问题进行分析，确定二次函数为y=- x(x-3)，方格纸规格为6×6，得到第3稿。
定稿：美图美数
如图3，A、B、C是5×5的方格纸上的三个格点，设每一方格的边长为1个单位，过A、B、C三点有一条抛物线。现以点B为坐标原点，建立平面直角坐标系。
（1）求抛物线解析式。
（2）求在方格纸上的函数图象所对应的自变量的取值范围。
（3）如何平移抛物线可以使得顶点为格点A？
图3
参考答案：(1）y=- x（x-3）；(2）0≤x≤1或2≤x≤5；(3）∵顶点坐标（ ， ），∴向右平移 个单位，向下平移 个单位。
三、一点思考
1.挖掘教材，推陈出新。
厚重的教材是命题工作取之不竭的资源，本题素材就来源于教材。取材于教材的试题有助于教与学回归课本，远离题海。在尊重教材、理解教材的基础上，多一份细心观察和理性思考，久而久之产生了对于教材内容的新领悟。创造性地用好教材，为命题工作服务，新开发的方格纸分割功能就是这么形成的，作为重要的工具和载体的方格纸，发挥出了新功能。试题对于图象的考查主要集中在6×6的方格纸中，这种视角的考查让试题整体感觉即熟悉又经济。
2.数形适配，化繁为简。
本题中，方格纸规格和图象的数学表达式之间是互相联系的。在简明的方格纸和简明的数学表达之间，命题者努力寻找一个最佳的配对，任何一方都不能繁琐，否则将干扰到核心知识和数学思想方法的考查。命题既要有利于问题的提出，又要有利于问题的解决。图美数不美不是真美，反之亦然；只有数形适配，美图美数，方能达到数学试题的简约之美。这个配对的寻找是通过双向分析因果关系，找到数与形之间隐含的数学规律，从而得到比较合适的两个方案，最后按需录用了其中的一个。
3.函数伴侣，助力思维。
方格纸一直陪伴着抛物线，但是作用并不突出。二次函数中自变量的取值范围、最值、增减性等是核心知识，数形结合、函数思想等是核心思想，几何直观、运算能力、建模思想等是核心素养，可见对于学生来说，学习二次函数所包含的意义相当丰富。如何通过熟知而有效的载体助力课堂教学和学生思维的发展是命题者一直在探索的方向。如今，方格纸从幕后走到台前，充分发挥了原有的对于图象表示、变换的功能，同时新开发的分割功能、界线的截图功能，使得抛物线被切割成段，聚焦局部后逐步汇合成对整体的认知，形成了二次函数图象分析的新功能。随着方格纸多种功能在二次函数中的运用，学生对于函数图象和性质的理解进一步深入，思维训练被引入了更深层。
论文作者:郑妤
论文发表刊物:《中小学教育》2020年第387期
论文发表时间:2019/11/14
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