三角形中“不等”与“相等”关系的证明论文_靳美庆

本文系安阳市基础教育教学研究室课题，课题名称：《通过初中数学基本型的变式探究促进学生深度学习的研究》课题编号：ayjky19033。

爱上数学，可能只需要一个图形。

数学图形的世界变化莫测，多一条线，少一个点，一个图形就完全变了样，但是你要仔细辨认的话，还是能够看出一点似曾相识的感觉，然后顺藤摸瓜认出它本来面目。而要做到这一切，需要你对它十分了解，甚至与它相关的知识，你也要了然于胸，以便找到切入口，一一突破。三角形这个图形绝对是初中数学界的杠把子，哪哪都有它，时不时就在问题中横插一脚，显示一下它的重要性。今天我们就来聊聊三角形那些事。

在几何证明题中，我们一般会看到两大类：数量关系的证明和位置关系的证明。在数量关系中又有两大类：不等关系的证明和相等关系的证明。本文主要说一说三角形中“不等”与“相等”关系的证明。

首先说下“不等”关系吧。一说到三角形中的不等关系，马上想到三角形的三边关系：三角形的两边的和大于第三边，两边的差小于第三边。不错，三角形中“不等”关系的证明主要借助于三角形的三边关系完成的。如下面这些题目：

例1.如图1，在ΔABC中，D为AC上一点，求证：AB+AC>BD+CD.

解题思路是:把结论中相关的线段先放到ΔABD中，利用三角形任意两边之和大于第三边的性质证明，即AB+AD>BD,再利用不等式的性质证明，即AB+AD+CD>BD+CD,又因为AD+CD=AC,所以AB+AC>BD+CD.

图1

在此题的基础上，我们再来看几道相应的变式。

变式1：如图2，在ΔABC中，D为三角形内部任意一点，求证：AB+AC>BD+CD

图2 图3

此题学生初始写的时候，自我感觉很简单，刷刷写下两个不等式AB+AC>BC，BD+CD>BC，最后发现无法得证，才开始意识到这个问题没有那么简单，但是想要利用三边关系证明这个不等式，就首先需要把这些线段放到三角形中，而图中存在的三角形就只有ΔABC和ΔBDC，所以学生很容易想到上面这两个不等式，但又证明不出来。再次尝试，经过慎重思考，发现它跟上题是有相似的地方，那么能不能根据上题把此题证明出来呢？于是想到延长BD交AC于E（如图3）,此时就出现新的三角形，再次观察发现其实它就是利用了例1的结论两次，先是AB+AC>BE+EC，再就是BE+EC>BD+CD,从而必有AB+AC>BD+CD。

变式1.1：如图4，O为ΔABC内任意一点，证明：AB+AC+BC>OA+OB+OC.

此题就是对变式1的直接应用，由变式1可以得到三个不等式：AB+AC>OB+OC，AB+BC>OA+OC，AC+BC>OA+OB，然后三个不等式相加得到：2（AB+AC+BC）>2（OA+OB+OC），即AB+AC+BC>OA+OB+OC。命题得证。

图4

我们继续探究，于是得到：

变式2：如图5，D，E是ΔABC内部两个点，求证：AB+AC>BD+DE+EC.

图7 图8

由变式1得到的启发，学生很容易想到要延长某条边，于是出现图6，延长DE分别交AB，AC于F，G，此时把命题中相关线段放到ΔAFG，ΔBFD和ΔCEG中，得到三个不等式：AF+AG>FG（即AF+AG>FD+DE+EG），BF+FD>BD，EG+CG>EC，把这三个不等式相加可得到：AF+AG+BF+FD+EG+CG>FD+DE+EG+BD+EC，又因为AF+FB=AB，AG+CG=AC，所以有AB+AC>BD+DE+EC，命题得证。这也是比较常见的证法。第二种证法是我结合例题和变式1想到的，如图7，延长CE交AB于F，延长BD交CF于G，于是可以根据例1马上得出两个不等式：AB+AC>BF+CF，BF+CF>BG+CG，再由在ΔGDE中，DG+GE>DE，然后利用不等式的性质得DG+GE+BD+CE>DE+BD+CE，即BG+CG>BD+DE+CE；最后得出AB+AC>BD+DE+EC，命题得证。由此又想到第三种更具有一般性的证法：如图8，延长CE交AB于F，连接BE,由例1得AB+AC>BF+CF，由变式1得BF+EF>BD+DE，再由不等式的性质得BF+EF+EC>BD+DE+EC，即BF+CF>BD+DE+EC，最后得出AB+AC>BD+DE+EC，命题得证。

由此想到：在一个三角形内部，如果有三个点，四个点，甚至更多个点时，结论是否成立呢？以三个点为例：

变式3：如图9，D，E，F是ΔABC内部三个点，求证：AB+AC>BD+DE+EF+FC.

图9 图10

由变式2的第三种证法可以得出此题的证法为：如图10，延长CF交AB于G，连接BF，由例1得AB+AC>BG+CG，由变式2得BG+GF>BD+DE+EF，再由不等式的性质得BG+GF+FC>BD+

DE+EF+FC，即BG+CG>BD+DE+EF+FC，最后得出AB+AC>BD+DE+EF+FC，命题得证。当然，变式2的前两种证法也可以证得命题成立，您不妨试一下。

于是得出在三角形内部有n个点时，结论仍然成立。但是要求这n个点和点B，C组成的多边形必须是凸多边形。我们可以用归纳法得出此结论。

综观上述这些题目会发现，要证明“不等”关系成立，都是借助于三角形的三边关系，而要实现这个就必须把相关线段放到三角形中，然后根据图形特征应用三边关系得出结论。

说了“不等”关系，我们接着再来说说三角形中的“相等”关系。说到证“相等”关系，你马上能想到什么？对，全等三角形，由全等我们可以得出很多相等关系：对应边相等，对应角相等。所以在证明三角形中“相等”关系时，经常会借助构造全等三角形来完成最后的证明。那构造全等三角形的方法都有哪些呢？简单的“连接”一下就可以出现全等三角形，复杂一点的图形我们可以通过“作垂线”“截长补短”“倍长中线”等方法来构造全等三角形。最后你会发现都是利用图形的特征来构造的，这其中利用最多的就是图形的对称性，在数学解题中有一个很重要的原则就是：对称地处理具有对称性的问题。如下题：

例2.如图11，在RtΔABC中，AC>BC,∠ACB=90°，点D是AB边的中点，过点D作DE⊥AB于点D，交∠ACB的角平分线于点E,连接AE,BE.证明：AE=EB且AE⊥EB.

图13 图14

题目已知条件里提到一个角平分线，由此想到利用角平分线的对称性来构造全等三角形，方法有三，第一种：如图12，利用角平分线的性质向两边作垂线，证得ΔAEM≌BEN,得出∠AEM=∠BEN,再由∠MEN=∠MEB+∠BEN=90°,从而得出∠AEB=∠MEB+∠AEM=90°，这就是直接证得AE⊥EB。方法二：如图13，是将ΔACE翻折得到的，但在辅助线的叙述上需要写成延长CB至F,使CF=CA，连接EF,从而证得ΔACE≌FCE,由此可得AE=EF，∠CAE=∠CFE,再由点D是AB的中点，DE⊥AB可知DE是线段AB的垂直平分线，利用其性质可以得出AE=EB，于是BE=EF,得出∠EBF=∠CFE,因为∠EBF+∠CBE=180°，所以∠CAE+∠CBE=180°，从而得出∠AEB=90°，这就是间接证得AE⊥EB。方法三同方法二，如图14，不同的是翻折ΔCBE得到的，辅助线叙述为在CA上截取CG=CB,连接EG,证法思路都同方法三，不再赘述。

在例2中，第一种方法是学生比较容易想到的一种，也就是“作垂线”法构造全等三角形；第二和第三种证法我们称为“截长补短”法，这些都是构造全等三角形的常用方法。

由上面这些题目会发现，证明三角形中的“不等”关系，借助于三角形的三边关系来证明，证明“相等”关系，通过构造全等三角形来实现。我们知道知识是相辅相成，密不可分的，有时候证明不等需要先通过证明相等才能得到。如下面这些题目。

例4.如图15，△ABC中,AM是BC边上的中线,求证：AM< (AB+AC).

图15 图16

本题乍一看，感觉很简单，条件简单，结论简单，但是仔细一看发现没有想象的那么简单，想要证明不等式成立，就得把相应线段放到三角形中，命题中涉及到的三条线段又不在一个三角形中，而且命题中还有个倍分关系。所以首先需要想法设法把相关线段放到一个三角形中，再仔细看一下题目，不等式可以转化为：2AM<AB+AC,那么就延长AM至G使MG=AM,再连接BG,如图16，这样画完辅助线之后，顿时解题变得清晰了，AG恰好就是2AM,△AMC和△GMB全等得出AC=BG,这样就把相关线段转移到一个三角形中，从而有AG<AB+BG,即2AM<AB+AC,原命题AM< (AB+AC)得证，问题解决。这个方法在数学里我们称为倍长中线。

由此题发现：要实现线段的等量转移，是通过构造全等三角形来完成的。

再来看一道综合题。

例5.（1）如图17，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=60°,∠BCD=120°，证明：BC+DC=AC.

（2）如图18，在四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=60°，P为四边形ABCD内一点，且∠APD=120°，证明：PA+PD+PC≥BD.

图19 图20

解决第一个问题，容易想到用截长补短法，而且题目中出现两个特殊的度数60°和120°，看到这些度数，就会想到等边三角形，从而出现等线段，如图19，延长DC至G，使CG=BC，连接BG,出现等边三角形BCG,为了证明DG=AC，我们再次连接BD，出现全等三角形ΔABC和ΔDBG，最后命题得证BC+DC=AC。

接着看第二问，没有头绪，既然是一道大题，那第一问对我们有什么启发呢？第二问题目中也出现两个度数60°和120°，但是跟第一问出现的位置不太一样，再看这一问让证明的是一条线段等于两条线段的和，而这个问题中让证明的是一个不等式，而且是四条线段的一个不等关系。如果我们能把第二问的不等式中的两条线段合为一条线段，那么我们证明的不等式就成了三条线段的关系，我们就可以尝试把其放到一个三角形中，利用三边关系来证明。通过第一问我们可以想到以AD为边构造一个等边三角形ADE，如图20，此时我们发现四边形APDE就变成跟图17一样的条件了，再连接PE，我们就可以得PE=PA+PD，那么不等式中的PA+PD就可以转化成PE了，那么我们只需要证明出PE+PC≥BD即可。这时我们连接CE，如果能证明出BD=CE，那么命题马上得证，通过观察图形以及已知条件，发现AB=BC，∠ABC=60°这两个条件还没有用，于是连接AC,马上又出现一个等边三角形ABC,于是我们看到了经常见的“手拉手模型”，通过“边角边”证明出ΔABD和ΔACE全等，从而得出BD=CE，于是在ΔPCE中，PC+PE>CE，再由等量代换得出PA+PD+PC>BD,但原不等式的符号是“≥”，我们只证明了“>”，什么时候“=”呢？，通过观察发现当点P,C,E在一条直线时，等式成立，最后得出PA+PD+PC≥BD，命题得证。

三角形的相关证明仅是数学世界里一小部分，对于它的探索还有很多，我们不可能一一列举，仅能用这一小部分来证明“数学也可以是一门有意思的学科”。数学中还有很多已知和未知领域需要我们继续研究、探索和开发，为此，我们也会继续贡献自己的微薄之力。数学就是这样，越钻研，越有意思，越有意思，你就越想钻研，渐渐的就迷上这个过程，并且在这个过程中尽情享受。

论文作者:靳美庆

论文发表刊物:《知识-力量》2019年12月58期

论文发表时间:2020/1/6

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