湖北省房县实验中学 442100
教材中例题的典型性、示范性是无容质疑的，作为一线的教师如何发挥教材中例题的潜在功能，笔者从教材中一道例题的“一题多变”谈一下自己体会：人教版义务教育课程标准实验教科书九年级上册第100页例3：
如下图，⊙O的半径为5cm，点P是⊙O外一点，OP=8cm。以P为圆心作一个圆与⊙O 外切，这个圆的半径应是多少？以P为圆心作一个圆与⊙O内切呢？
解：（1）设⊙P1与⊙O外切于点A，则PA=OP-OA=8-5=3；所以⊙P1的半径是3cm。
（2）设⊙P2与⊙O内切于点B，则PB=OP+OB =8+5=13；所以⊙P2的半径是13cm。
变式一：如下图，⊙O的半径为5cm，点P是⊙O外一点，OP=8cm。以P为圆心作⊙P与⊙O 相切，这个圆的半径应是多少？
解：（1）当⊙P与⊙O外切于点A时，则PA=OP-OA =8-5=3。
（2）当⊙P与⊙O内切于点B时，则PB=OP+OB =8+5=13。
所以，综合（1）、（2）⊙P的半径是3cm或13cm。
分析：此变的目的是将原题的两个问题合成一个问题，这样在解题时就要进行分类讨论，从而更有效地培养学生分类讨论的数学思想。
变式二：如下图，⊙O的半径为5cm，点P是⊙O外一点，OP=8cm。以P为圆心作⊙P与⊙O 相交、外离、内含，⊙P的半径分别是多少？
解：（1）当⊙P与⊙O 相交时，
则|R○P-5|＜OP＜R○P+5，
即|R○P-5|＜8＜R○P+5，
所以⊙P的半径为3＜R○P＜13。
（2）当⊙P与⊙O 外离时，
则OP＞R○P+5，即8＞R○P+5，
得R○P＜3，
所以⊙P的半径为0＜R○P＜3。
（3）当⊙P与⊙O 内含时，
则OP＜R○P-5，
即8＜R○P-5，
所以⊙P的半径为RP＞13。
分析：此变的目的是进一步巩固圆与圆的几种位置关系，培养学生数形结合思想及观察、分析能力。
变式三：如下图，⊙O的半径为5cm，点P是⊙O内一点，OP=3cm，以P为圆心作⊙P与⊙O 相切、相交、外离、内含，⊙P的半径分别是多少？
解：（1）当⊙P与⊙O外切时，
则OP=5+ R○P
3=5+R○P
RP=-2（舍去）
（2）当⊙P与⊙O内切时，
则OP=|5-R○P|
3=|5-R○P|
得RP=2或8
所以，综合（1）、（2）⊙P与⊙O相切时，⊙P的半径是2cm或8cm。
（3）当⊙P与⊙O相交时，
则|5-R○P|＜OP＜5+R○P，
即|5-R○P|＜3＜5+R○P，
得2＜R○P＜8，
所以⊙P的半径为2＜R○P＜8。
（4）当⊙P与⊙O外离时，
则OP＞R○P+5，
即3＞R○P+5，
得R○P＜-2＜0，
所以，此时⊙P与⊙O不能外离。
（5）当⊙P与⊙O内含时，
则OP＜R○P-5，
即3＜R○P-5，
所以⊙P的半径为RP＝8。
分析：第一、此变是借助点与圆的位置关系对图形变式，目的是进一步培养学生分类讨论、数形结合思想及观察、分析、识图能力；第二、进一步巩固两圆由位置关系到数量关系的应用。
论文作者:田龙云
论文发表刊物:《素质教育》2016年5月总第206期
论文发表时间:2016/6/21
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