20世纪的纯粹数学：回顾与展望[*]，本文主要内容关键词为：数学论文,世纪论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
20世纪行将结束，数学正如其它所有科学领域一样，面貌发生巨大的变化。但是由于数学具有与自然科学不同的对象和特点，它的变化自有其不同寻常之处：
1.数学的研究对象远远超出经典数学的范围，而且对于基础也同时进行深入探究，出现几乎是无限的扩大的前沿。正如其它学科一样，日益显示出越来越复杂的多样性。
2.结构数学象一条红线，贯穿在20世纪数学发展的过程中，形成当代数学统一性特征的核心。
3.抽象化、概念化的数学非但没有各自为政，互不相关，反而使得大量意想不到的关系不断涌现，给各种问题的解决提供新的有力工具，特别是为解决经典问题打开了大门。
4.高度的抽象纯粹数学非但没有脱离实际，而且有着不可思议的应用。
数学基础
19世纪末以前的数学常被称为经典数学，它的对象及范围随时间不同而不同，并没有统一的标准。总的说来，它的基本对象是数与形。数学的主要问题也各不相同，大体上可以分算法问题以及理论问题。前者包括诸如整数分解成素因子以及鉴定一个数是否素数，解代数方程及代数方程组，解各种数学物理方程问题，古代的作图问题通过解析几何学也可划入这个范畴。这是经典数学的主流，可以说18世纪以前的数学主要是算学，它强调数学的构造性以及技术方面。理论问题是数与形的性质，特别是欧几里得《几何原本》所得到的演绎系统，它使得数学成为一种证明的学科，这种趋势到19世纪越来越成为西方数学的主要方面。不过它的对象仍然具有经验性和可操作性，超出经验的几何对象，例如高维空间以及病态的函数仍然不为许多数学家所接受。
19世纪末，对于数学基础出现一种批判的检查运动，许多基础问题引起了争议，这些问题包括：
1.什么东西有资格作为数学的对象？首要的问题是康托尔的无穷集合论是哲学还是数学？
2.什么方法是合法的？例如反证法的使用范围，我们可以接受什么样的公理系统。
3.究竟什么是数学？它是否是一门自然科学或经验科学？
4.数学与逻辑的关系。
应该说，当时游离于主流数学之外的四条道路导致20世纪初数学基础的争论以及数理逻辑作为一门学科正式产生：
1.康托尔从19世纪70年代到90年代建立的无穷集合论。
2.戴德金等人对于“什么是实数？”“什么是整数？”的研究。其后产生同样的问题：“什么是曲线？”“什么是维数？”“什么是空间？”这些无疑是数学最基本的对象。
3.希尔伯特的公理理论。
4.从布尔开始的符号逻辑。
现代数理逻辑可以说来源于罗素1901年夏发现的著名悖论，其后重要的进步是策梅罗(E.Zermelo,1871—1953)在1908年的公理化集合论。富兰克尔(A.Fraenkel,1891—1965)等人曾加以改进，形成著名的ZF系统，这是最常用的一个系统，因此大家都希望从中推出常用的选择公理（1904年策梅罗引进它来证明康托尔的良序定理）以及著名的连续统假设（即第一个基数ω与2[ω,]之间没有其他基数）等。1940年哥德尔(K.Gdel,1906—1978)证明，选择公理和连续统假设与ZF系统是协调的。1963年，柯亨(P.Cohen,1934— )发明“力迫法”证明这两条“公理”的否定也不能在ZF系统中证明，从而推出其独立性。为了使数学奠定在严格公理化基础上，1922年希尔伯特提出希尔伯特纲领，首先将数学形式化，构成形式系统，然后通过有限主义方法证明其无矛盾性。而对这个梦想的打击则是哥德尔的不完全定理。
哥德尔不完全性定理是数理逻辑最重大的成就之一，是数理逻辑发展的一个里程碑和转折点。1930年秋在哥尼斯堡会议上哥德尔宣布了第一不完全性定理：一个包括初等数论的形式系统，如果是无矛盾的，那就是不完全的。不久之后他又宣布：如果初等算术系统是无矛盾的，则无矛盾性在算术系统内不可证明。哥德尔的不完全定理造的是一个不自然的数论问题，数学家一直希望在一阶皮亚诺算术中找到一个数学表述既简单又有趣的数论问题，说明算术系统的不完全性。这一直到1977年才由巴黎斯(J.Paris)等人造出，这更加证明希尔伯特纲领是不可能实现的。哥德尔的不完全性定理从根本上动摇了数学的基础，它指出绝对的无矛盾性的证明是不可能实现的，数学家只能限制自己的领域及要求。至此，数理逻辑形成一个伟大的转折。它成为一个专门的学科，分成四大分支：证明论、递归论、公理集合论及模型论，它们都在30年代发展起来，这些也成为现在数学哲学研究的基础。
尽管数理逻辑已成为数学的一个专门分支，它对纯粹数学和计算机科学的影响决不能低估。两位计算机科学的先驱，英国的图灵(A.Turing,1912—1954)和匈裔美国人冯·诺伊曼(J.von Neumann,1903—1957)都是大数学家，特别对数理逻辑都有极大的贡献。图灵机是现代计算机的理论原型，冯·诺伊曼的程序内存思想无疑来自数理逻辑。而当前在计算理论方面的热门课题——复杂性理论更是来源于数理逻辑。实际上，计算机上的操作直接间接都与计算有关。为此，我们不妨把数学问题分成四大类：
1.在一个给定的形式系统中既不能证明又不能反证的命题。
2.算法不可解问题。也就是不存在一个一致有效的机械化步骤能够解这个问题。在20世纪，严格证明一系列数学问题属于这类。最有名的是希尔伯特第10问题。它问是否能找到一个算法来判定一个整系数不定方程（也称丢番图方程）是否有整数解。经过多年的努力，这问题最终在1970年否定解决。另外对于结构数学至关重要的一系列问题，如群论中字的问题以及同构问题，拓扑学中的同胚问题等也都是不可解问题。也就是原则上讲，没有一个机械化的办法去解决这个问题。值得注意的是这并不等于说这个数学问题就永远不能解决了。它只是证明我们不可能找到机械的办法或算法去一般地解决问题。但是还可以通过非机械的方法去解决。另外，如果降低一般性，在机械化方面还是可以有所作为的。例如，交换群的字的问题和同构问题都是算法可解的。
3.对于算法可解问题，如何找到更有效的算法。数学中，特别是初等数学问题有很好的算法。例如一个整数的因子分解和它是否素数的判定问题原则上都可以解决，连小学生也会。但是，从实用角度来看，通常的算法即使借助于当前最大最快的计算机也根本不行。例如，十几年前把任一个100位的数分解因子需要成年累月的计算机时间。因此80年代起许多数学家改进算法，借助于结构数学一些成果，在1994年成功地快速分解了129位的整数。1996年还成功地得到当前两个最大的素数，或者说第34和35个马桑素数（相应于完全数）。
4.可现实实现的机械化算法。通常数学家只考虑原则上有个算法甚至原则上可证或反证就完了。但是这是远远不够的。我国著名数学家吴文俊在20年前提出了“数学机械化纲领”，设计了多项式方程组的机械化算法，并成功地解决一系列数学及应用问题，引起全世界的关注。
最后还要指出：
1.现在的集合论只是相对稳定的，ZF系统的无矛盾性并没有得到证明，也不排除其中有矛盾，也有人说它有矛盾需要极长极长的证明。
2.ZF中存在一系列数学命题既不能证明也不能否定。为了减少不确定性，哥德尔的建议是增加各种大基数公理。但是大基数公理的上限是一个恒假命题“O=1”，这也许是建立在集合论基础上的数学不稳定的深层原因。
3.由拓扑发展出的范畴与函子理论是集合论的较好代用品。
结构数学
“结构”这个词，不仅在数学，而且在物理学、化学、天文学、地学、生物科学、技术乃至人文、社会科学、哲学领域中几乎处处存在着，它反映一个事物诸配件之间的关系，或几种事物之间的相互关系。数学结构的概念无非是这种朴素观念的抽象，经过了漫长的发展过程，最后由布尔巴基学派作为整个数学的基础。
集合论的发展给结构提供了活动的场所，集合是结构的“毛”所附的“皮”。给定一个集合，如果上面没有赋予它什么结构的话，它的每个元素都是互不相关、彼此独立的。而它们之间如果并不“平等”，彼此相关，就和一个一般的集合不一样了。元素之间有大小之分，远近之别，运算关系等等，它就有了“结构”，结构数学就是研究这些结构的科学。
由于在一个集合上可以赋予各种不同类型的结构，我们就得出种种以特殊结构为研究的对象以及研究它们的各种新兴学科。20世纪大部分新学科都是这样产生的，当然现在的各种结构有的是自然的，也有不少是人为造出的。所谓自然的结构就是从原始的数学对象逐步抽象出来的，正如自然数1，2，3，4一样，可是，我们在生活实践和数学研究中，不可能只满足自然数，我们还得造出许多新的对象，如零，负数，分数，复数等等“人工数”。虽然长期以来觉得它们不自然而不被接纳，可是现在我们也觉得它们很自然，同真正的自然数没什么不同了。同样我们从数学的古老的研究对象数、量、函数、方程、图形得出一些自然的结构，如整数环，有理数域，置换群，变换群，向量空间，全序集等，并抽象成一些典型结构，如群、环、域、序集、线性空间、希尔伯特空间等，而且通过各种方法衍生成大量的新结构如拟群、半群、除环、格、巴拿赫空间、拓扑空间、流形、纤维丛、李群、李代数、绯索、簇等等，其中大部分很有用，形成了一系列新兴学科如抽象代数学（包括群论、环论、域论、同调代数学、代数K理论、格论以及各式各样的代数结构），一般拓扑学、代数拓扑学、微分拓扑学、拓扑群理论（及其它拓扑代数，包括李群）、代数群理论、测度与积分论、泛函分析、随机过程论等等。当然也有相当多的结构完全没有背景，纯属凭空捏造，不过即使如此，历史最终还会把有价值的概念和结构保留下来。
结构数学在理论框架上要比传统数学系统得多，问题也更为集中。经典数学的十分简单的对象如三角形和圆都可以有成千上万条定理，它们的逻辑形式也很简单，可以用一阶逻辑来表示，一阶逻辑有两种量词，
（每一），因此经典数学的命题大都如：
定理：存在超越数。具体讲就是，在实数中一定存在一个数，它不满足任何整系数代数方程。这种定理往往是具体找出或造出一个数来满足如此这般的条件，或证明某种类型的数是超越数。人们往往通过艰苦的寻找和证明才能得出某些孤立结果。正因为它很难同结构数学挂上钩，希尔伯特猜想他的第七问题，如
是超越数可能100年也证明不了，至少不早于费尔马大定理的证明。而实际情况恰恰相反，到1930年这个定理已得到证明，而费尔马大定理则迟至1995年才完全解决，当然这是由于特殊技巧的发明。
另一个经典数学的命题是每一正整数都可以表为1个，2个，3个或4个平方数之和。欧拉没能彻底证明这个四平方和定理，最后由拉格朗日在1770年证明是加法数论第一个一般性定理。而另一个一般性命题，即哥德巴赫猜想：任何(＞6)的偶数均可表为两素数之和，则至今没有得到证明。从这些例子可看出经典数学理论和命题较为孤立，这反映在，一方面它的问题由于比较孤立，要没有十分特殊的技巧难以得到突破，更不用说彻底解决；另一方面，这类问题即使得到解决，也只不过停留在一个孤立问题的解决上，对于其他学科影响不大，甚至对本学科的其他问题也影响不大。
结构数学的问题与经典数学有所不同，由于结构数学本身的密切相关，而且彼此之间也互相推动，从而不仅使它摆脱孤立的状况，而且通过相互联系使整个数学趋于统一，全面发展，这正是20世纪数学发展的重要特点。
以有限群为例，结构数学的问题大致可分为互相关连的四类问题：
刻划问题 结构数学首要问题是对对象加以刻划，指出两个有限群什么时候一样（同构）。如果它们有差别，一定反映在一些不变量（在同构之下不变）不同上。为此，必须找到一些新的不变量，并指出哪些不变量足以刻划该群。
分类问题 对于所有有限群，找出完全组的不变量，以此对它们进行分类。1981年对于有限单群的分类工作已经完成。
结构问题 对于一个群，找出其子群、正规子群、商群以及它的各种扩张等。
实现问题 20世纪的结构，都是通过公理定义的抽象结构，为了更具体更深入理解，我们需要找出与它同构的特殊的群，这种造法常称为表示，例如有限群最常用的有线性表示，另外还有置换表示及图象表示等。
群、域都有完美的公理系统，有限域已经有完整的结构理论：对于任何素数p和正整数n，存在唯一的有限域具有p[n,]个元素。反之，有限域的元素数目必定是p[n,]个。域论的一大进步是引入p进域，这是一种局部域。1910年，德国数学家施坦尼茨(E.Steinitz,1871—1928)奠定抽象域理论基础。
20年代，德国伟大的女数学家诺特(E.Noether,1882—1935)对于一般诺特环进行公理化，证明准素分解定理，继而对戴德金环公理化，证明乘法分解定理，从而建立交换环的理论。她的思想为抽象代数奠定了基础，被公认为“近世代数学之母”。
结构数学最重要的一个对象是李群。李群几乎是数学的中心，它可以看成是实数直线和圆周的大规模推广，其中有着丰富的代数和拓扑结构，由于它既有代数和拓扑结构，又有微分流形和测度结构，同数论、代数、微分几何、复分析、拓扑、调和分析有着密切联系，而且对物理（从固体、核、粒子物理到规范场理论）有着重要应用。
结构数学另一个大方向是拓扑。它为数学建造一系列工具：同调群、上同调环、同伦群、纤维丛、示性类、谱序列、同调代数、广义同调论、拓扑变换群、不动点理论、K论等，由此，数学完全变貌。
50年代及60年代，代数拓扑学与微分拓扑学成为“数学的女王”，其中心对象是流形，其特点是流形上拓扑、几何及分析全面发展。流形是局部一样的坐标块相互重叠拼接起来的，正如球面及环面都可看成由一个一个小圆片拼起来的。流形局部上一样，但整体性质由于拼接方法及两个重叠的坐标块之间映射的不同而不同，可以形成如下的一套结构，在冒号后面是研究它的分支学科。
连续（同胚）映射→拓扑流形：拓扑学
分段线性映射→PL流形：PL拓扑学
可微（微分、光滑）映射→微分流形：微分拓扑学，微分几何学
实解析映射→实解析流形：实解析几何学
双正则映射→复解析流形：复解析几何学
双有理正则映射→代数簇：代数几何学下层的结构都是建立在上层结构基础上的，从这些层（它们之间还可以插入其他的层）就出现一系列问题，例如：
(1)一个拓扑流形上存在微分结构的条件，如果存在，又有多少种不同的微分结构。1956年米尔诺(J.Milnor,1931— )因发现7维球面S[7,]上至少有4种（后来知道一共28种）不同的微分结构而引起轰动。最近又发现4维欧氏空间R[4,]上有不可数无穷多种微分结构。
(2)对于流形的分类，1960年斯梅尔(S.Smale,1930— ）证明了5维及5维以上的庞加莱猜想并对之进行粗分类。到80年代，3维及4维流形拓扑及几何分类也取得重大突破。
推动经典数学
结构数学对于经典数学有着不同程度的影响。它影响最大的领域有代数数论、代数几何学、李群及李代数理论、微分几何学、多复变函数论、抽象调和分析、偏微分方程理论等。我们以代数几何学为例来看一下其影响之深远。
代数几何学研究的对象是由代数方程或代数方程组所定义的代数簇，它的特殊情形是代数曲线和代数曲面，从这个意义上来讲，它可以看成解析几何学的推广。中学学的解析几何学用代数方法研究直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线等一、二次代数曲线以及一、二次代数曲面，但是这是远远不够的。一类重要的三次曲线——椭圆曲线，就超出通常解析几何学的范围。代数几何学所研究的代数簇要比解析几何学广泛得多，它一般是定义在复数域中，其次往往还考虑射影空间。它的中心问题是分类问题，而这个问题的解决首先仰赖于用结构数学建立代数几何学的基础，在这方面主要是俄裔美国数学家查瑞斯基(O.Zariski,1899—1986)，法国数学家魏伊(A.Weil,1906— )以及其后的塞尔(J.P.Serre,1926— )和格罗登迪克(A.Grothendieck,1928— )特别是格罗登迪克的概型(Schema)理论成为现代代数几何学的基本语言。在他们的工作的指引下，一般代数几何学取得一系列辉煌成就，特别是：
1.1954年德国数学家希采布鲁赫(F.Hizebruch,1927— )把代数曲线的黎曼－洛赫定理推广到一般代数簇上。
2.1964年日本数学家广中平祐(1931— )关于一般代数簇的奇点解消的工作（主要是特征O域上）。
有了这些一般性理论，分类问题大有进展：
1.代数曲线，代数曲线的分类在19世纪已由黎曼所奠定，即它依赖于亏格g和参模(moduli)，20世纪对参模空间进行一系列研究，对于其结构已有相当的了解。
2.代数曲面，本世纪初，意大利学派做出初步的贡献，从50年代起，它经历近代化和严密化特别是查瑞斯基的曲面的极小模型理论。50年代及60年代日本学派和苏联学派都给出了代数曲面分类的严格证明，但是参模问题还没有完全解决。
3.代数3形，也就是3维代数簇，随着维数的增长，分类问题也越来越复杂，日本数学家森重文80年代末在极小模型与分类问题上取得重大突破。
结构数学对于经典分析数学也有重大影响，由于比较专门，这里只提其中比较重要的。
1.测度论.20世纪初，把数学分析建立在集合论的基础上，为此，勒贝格(H.Lebesgue,1875—1941)建立测度和积分理论，构成实分析乃至泛函分析的基础。
2.广义函数论.40年代法国数学家施瓦兹(L.Schwartz,1915— )在前人基础上系统地建立广义函数论，成为现代分析特别是偏微分方程论的基础。它的地位就相当牛顿、莱布尼茨在前人工作基础上系统建立微积分一样。广义函数的前身就是狄拉克(P.Dirac,1902—1984)的δ函数，在物理学中有着广泛的用途。
3.多复变函数论.函数是数学分析的基本概念，它由定义域，函数和值域3个部分组成，当值域为实数域时，研究它的分支称为实变函数论或实分析，而当值域为复数域时，则称为复变函数论或复分析。多变元实变函数论在19世纪已有成熟的发展，但多（变元）复变函数论则相应很慢，以至外尔在“半个世纪的数学”一文中对于它只说了一句话“多复变解析函数论，虽有一些深刻的结果，仍然还处于它的草创阶段”。实际上，多复变函数一开始就同单复变很少相似之处，首先多复变函数的定义域就远比单复变的复杂得多。20世纪初，德国数学家哈套格斯(F.Hartogs,1874—1933)发现，单复变解析函数一般不能向内开拓，而多复变解析函数则可以向内开拓。复数空间C[n,]中的一个区域D，如果存在一个在D上全纯函数不能延拓到更大的区域，则称为全纯域。C[1,]中每个区域都是全纯域，C[n,](n＞2)中则不是。因此，多复变函数论的第一个问题是全纯域的刻划，这就是列维(E.E.Levi,1883—1917)问题，它一直到50年代才在拓扑学、微分几何学、李群理论等支持下完全解决，即伪凸域是全纯域。同时，全纯域也被抽象为施泰因(K.Stein,1913— )流形，而且得到完全的刻划。
与单复变的情形不同，两个单连通的域不一定双全纯等价（存在一对一的保角或共形映射）。庞加莱早就指出二维复数空间C[2,]中球体│Z[,1]│[2,]+│Z[,2]│[2,]＜1与双柱│Z[1,]│＜1,│Z[2,]│＜1之间不存在双全纯映射，这由它们的解析自同构群不同即可看出。也知道C[n,]中存在单连通的全纯域，它没有非平凡的自同构。一般的解析空间的自同构群，只有个别特殊结果，而它们之间映射的普遍定理，只有费弗曼(C.Feffer-man,1949— )在1974年证明的扩张定理：如果C[n,]中两个严格伪凸域D[,1]D[,2]之间存在映上同构，则该同构可扩张或包含边界的微分同胚。1980年以后，有人给出简单的证明。
新的统一
1970年国际数学家大会在法国尼斯召开，这是标志布尔巴基的数学达到高峰的大会。随着格罗登迪克离开数学研究以及向传统复归的趋势日益明显，数学出现一种新的大趋势：一方面数学继续呈现一种丰富多彩的多样性，另一方面，数学的统一性在新的形势下日益增强，出现以前预想不到的联系。正是在这种大趋势下，数学出现一种空前繁荣的局面。
这种繁荣局面的一个外在表现就是许多经典问题取得重大突破甚至得到完全解决。
经典数论问题大部分是以丢番图方程也即不定方程的形式出现，其中大部分求解极难，甚至解的存在与否都难以判定。例如费尔马大定理，即不定方程
x[n,]+y[n,]=z[n,](n＞3)没有正整数解就是其中最著名的，虽然经历了350年艰苦历程仍然难以撼动，要不是有代数几何学的成就以及它同椭圆曲线的联系，它能否解决仍然是个问号。1995年英国数学家维尔斯(Andrew Wiles,1953— )终于彻底攻克这个问题，这成了本世纪的纯粹数学的最大成就之一。标志科学界对这个成就的公认，他荣获了一系列最高荣誉：1995/1996年度沃尔夫奖（可以说是数学的最高成就奖），1995年度欧洲奥斯特洛夫斯基数学奖，还被选为美国国家科学院院士等。与这项成就大体相当的还有不少：
1983年德国数学家法尔廷斯(G.Faltings,1954— )证明莫德尔(J.L.Mordell,1888—1972)猜想，为此他荣获1986年菲尔兹奖。
1974年比利时数学家德林(P.Deligne,1944— )证明了魏伊猜想，为此他荣获1978年菲尔兹奖。
重要的是，我们对于三个变元的齐次不定方程或2个变元的非齐次不定方程的整数或有理数解的存在情况已经有了系统的了解。另一方面，我们对于椭圆曲线的结构已有很大的进步，特别是马祖尔(B.Mazur,1937— )在1977年已经决定了所有的挠元。
大约同时，数学呈现新的大统一趋势。首先，1965年标志着大范围分析正式诞生，其中最主要的学科是动力系统理论。由于浑沌的出现，它形成一个大热门。这里只想提一下，现代的许多观念，如分叉、浑沌、吸引子等，100年前庞加莱已知道，而描述浑沌的许多数学如分维，数学家在本世纪最初20年也已知道。
同时，在非线性数学领域，出现另一个巨大成就，即kdV方程的弧立子解。由此导出一系列非线性偏微分方程的解。而只有苏联数学家把它们与代数几何挂起钩来才进入现在统一的数学当中。
1974年，杨－米尔斯(Mills)规范场理论与数学的纤维丛及连络理论联系在一起，其结果是数学和物理双方都得到好处。拓扑－微分几何－代数几何进入物理学，反过来规范场理论为4维拓扑学打开了缺口，不过比起其后10年来，这只不过是牛刀小试而已。
1983年，大规模的溶合这时才真正开始，始作甬者是琼斯(V.Jones,1953— )。他用算子代数造出纽结－环结不变式，把完全不相干的领域拉在一起。众所周知它同杨－巴克斯特(Baxter)方程及量子群有关。其后场论与拓扑又搞在一起，用场论定义新拓扑不变量：除了琼斯的纽结不变量，还定义卡松(A.Casson)3维拓扑不变量、弗洛尔(A.Floer,1956—1991)3维拓扑不变量以及唐纳森(S.K.Donaldson,1957— )4维拓扑不变量，同时，2维、3维、4维拓扑场论形成。
另一方面2维共形场论同代数几何搞在一起，又同无穷维李代数有关，它又同统计物理中的相变有联系。
80年代末，威滕(E.Witten,1951— )利用单李代数构造出许多系列的3维流形不变量，瓦西里耶夫(A.Vassilliev)得出最一般的纽结及环结不变量。1994年塞伯格(Seiberg)及威滕得出以他们的名字命名的方程，使得不变量的构造大大简化。
展望
在面对下一个世纪时，数学家的心情似乎大大不同于前两个世纪：18世纪末，当时最伟大的数学家拉格朗日对数学未来不抱乐观，数学思想差不多已经穷尽，数学的发展很快将停滞不前。可是1801年，随着高斯(C.F.Gauss,1777—1855)的《算术研究》的问世，数学出现了前所未有的新局面，数学领域一下子扩大了许多。到19世纪末，数学已发展成了许多互不相关的分支，它们自我封闭、相互脱节、崇尚特殊的术语和专门的技术。当时的问题是有没有统一的数学以及比较严密的数学基础，对此数学家的看法有很大差别。到20世纪，我们的确可以骄傲地认为，这两个目标基本达到，而且由此产生出结构数学庞大的新领域以及数理逻辑的新学科。时至今日，数学科学已经形成20个左右二级学科与上百个三级学科了，它们大都有系统的理论，明确的问题以及适用的方法，但是，支持数学发展的各种难题也越来越多了。数学家已经不是没有问题可做，而是做什么问题最有意义、最重要、最能带动整个科学的发展。在这个意义下，纯粹数学家必须从自己的狭窄专业中走出来，面向更广阔的领域，在学科交叉处总有许多新的生长点，其它学科的利器往往可用来解决本学科的问题，纯粹数学的继续快速发展完全是乐观的。
另一方面，与过去不同，纯粹数学的最尖端领域，过去被认为最没有用的学科——代数数论、代数几何学、代数拓扑学等等现在已成为解决其他科学前沿问题的重要工具，甚至可以这样说，前沿的纯粹数学问题与前沿的物理学、生物学、信息科学问题是共生的（例如弦论，生物密码的信息破译，发育和脑的信息编码等）。20世纪业已形成的纯粹数学宝库不仅对自身，而且对于人类所有认知领域必将继续做出巨大的奉献。
[*]国家自然科学基金会资助项目。
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