关键词：量角器的本质 量角的本质 单圈简易量角器 探索和发现
一、问题提出
“角的度量”历来是小学数学“测量教学”中的重点，也是难点。一般，老师们把它的教学定位为“技能训练课”。即通过学习，使学生能够度量“角的大小”，并形成量角的操作技能。教学中，通常先“静态地”介绍量角器的结构：中心点，0刻度线，内外圈及角的度量单位“度”；然后介绍量角的方法：“两对一读”即点对点，边对边，再读另一条边的刻度；最后组织学生花较多的时间进行读数、量角的技能训练。但学习效果并不是很理想，问题主要集中在两方面：一是量角器的摆放不正确，最突出的是学生拿着量角器要试误很多次，才会把角放进量角器内；二是内外圈的刻度老要读错。
出现这样的现象是因为教师对操作技能的讲解不够清晰？还是学生的操作技能还不够熟练？或者还是有其他的原因……通过静态地介绍量角器，学生真的认识量角器？按照量角的步骤一步一步地教，学生是否感受到了量角的必要性（为什么要测量角的大小）？真的理解量角的本质？除了掌握量角的基本技能外，我们还能让学生有什么收获？我们首先对已学的学生进行了问卷调查，期望从中能够找到一些答案。
二、调查分析
我们对四（1）、四（2）班90个学生（已在第一学期学过角的度量）进行了“角的度量”知识后测。问卷测查主要分两部分：量角器的认识和量角。
1. 对量角器的认识统计分析。通过设计问题：“量角器上什么角吗？试着写几个？”以此来了解学生对量角器结构的认识。通过对60位学生的访谈并统计有70%的学生认为量角器上的有角，但学生多数学生对量角器上具体度数的角是表述不清楚的。将近50%的学生知识笼统地用“钝角、锐角、平角”来表示。这对于已经学过量角的方法和用量角器画角的学生来说是不应该的。也说明了学生对量角器没有清晰地认识或者说不理解的。
2.角的测量统计分析。通过让学生测量2个标准角（角的一条边水平，开口朝左、朝右）和2个变式角（角的两条边都不水平，开口朝上、朝下）从统计数据中可以看出，学生对于标准角的正确率相对要高一些，因为量角器的摆放比较容易，读数也简单。对变式角测量来说，不仅仅反映出正确率相对比较低的情况，还体现在了量角器摆放比较困难。通过观察，发现较多的学生在摆放变式角时要试误多次才找到正确的摆放，有的还找不到量角的办法。
3.分析结论：
（1）对“量角器”构造的本质不理解。学生只知道量角器上外在、显性的结构，如“中心点、0刻度线，内外圈”等，并不理解量角器是单位1°角的集合。可以通过1°角组合成180个不同度数的角。
（2）对“量角”的本质不理解。所谓的“两合一读”是一种外在的操作形式。量标准角时，学生能够按照程序一步一步展开，但碰到“变式角”就有点手忙脚乱了。这说明学生对量角的方法只是有了一种记忆的模仿，并不清楚量角方法背后的本质是“比较”，即用量角器上角与被测角的进行比较，用“重合”的方法找到一样大小的角，然后读出量角器上角的度数就是被测角的度数。
从分析可知，按照量角的程序一步一步教，虽然学生掌握了量角的方法，也形成了一些技能。然而这种技能学习变成了是简单的模仿，在操作中也缺乏思考与探究，更缺乏发现与创造。正是由于学生对量角器构造本质和量角本质缺乏认识和理解，使学生对角的度量之知其然，并不知其所以然。未学的学生有能力知其所以然吗？
三、我们的思考和改变
综上所分析，“角的度量”虽是一种基本技能，但不应只知其然，更应知其所以然。学生也有这样的基础和经验来理解“量角器的本质和度量的本质”。我们通过以下三点改变来实现：
1.改变以往“静态地”介绍量角器的结构，经历量角器动态的生成和简化的过程，通过在量角器上指角、画角，让学生理解量角器是单位小角1°的集合，可以通过组合单位角1°组成不同度数的角，即量角器上有很多大小不同的角。
2.改变以往直接介绍量角的方法，激活学生已有比较角的大小的方法和经验，引导经历学生思考和探究量角的过程，理解量角就是将量角器上的角与被测角做一个重合比对的结果，读出量角器上的角就是被测角的度数。
3.改造量角器。基于小学生的心里与注意力的特点，将量角器简易化为只有一圈刻度数。量角器是一个高度“智慧化”、“简约化”的专用工具。“两圈刻度使得学生无法直接运用长度测量时积累起来的经验；中间镂空使学生无法轻易的找到量角器上的角，再加买来的量角器上有许多非数学信息（量角器上有小动物图案）的干扰。这些因素都给学生认识量角器带来很大的困难或负作用。因此我们制作了一个单圈数据（尽量留住那些边线）的简易量角器。它正好能够弥补自购量角的缺点。在两个量角器前测数据对比中可知，自制量单圈角器量角的正确率比自购的量角器要高一些。
四、我们的实践
1.分班教学
选取同一个老师执教的两个基础差不多的班级，以尽量减少试验数据误差。一个班级按照“以往一般的方法”教学，一个班级用“我们的改变”进行教学。
2.我们的课堂实践过程
片段一：激活度量长度的经验，迁移度量思想。
课前谈话：
T：说说对姚明认识？
S：姚明是篮球巨星
S：姚明很高。
T：出示姚明和数学教师的对比
T：姚明有多高？学生猜测，但要想精确知道姚明的身高怎么办？然后出示测量工具直尺和测得的数据226厘米。1厘米是多少？让学生用手来表示一下长短，226厘米就是有226个1厘米叠加起来。
教学意图：激活学生测量长度时所积累起来度量经验：要想精确地定量刻画一个度量的量，就需要专用度量工具，还需要度量的标准量即单位。被测量的数据是单位量的累加所得。
片段二：在3个滑梯的选择中感悟角度量的需求
T：滑梯很多小朋友都玩过，这里有三个滑梯，你会选择哪个，为什么？整体呈现S：有的选择2号滑梯，因为1号太慢，3号太危险；有的选择3号，3号刺激。
T:当学生的意见不统一，理由说不清楚时，引导学生抽象出滑面和地面组成的“角”来观察和分析。（如图3、4）∠1两边叉开大小的程度太小，而∠3两边叉开大小的程度太大。2号滑梯合适。然后提出问题：∠2到底有多大呢？如刚才的姚明到底有多高呢？要想知道∠2有多大，我们需要专门的度量工具“量角器”。
教学意图：各版教材都强调了度量的需求。通过滑梯这个“好玩又深刻”的情境，自然地让学生有了要测量2号滑梯有多大的需要。迁移长度度量的经验可知，度量角的大小也需要专门的工具和标准量。
片段三：经历量角器动态的形成和简化的过程
（1）第一次尝试，激发认识量角器的需求
T：以前见过或用过量角器？能不能大胆的先尝试一下。
S：学生第一次用量角器尝试量角，摆的方法不对，是因为不了解量角器的缘故，所以我们先要了解量角器是怎么来的，然后再来判断自己的方法是否正确。
教学意图：第一次尝试，以便能够了解所教班级学生的学习起点，更在于激发学生认识量角器的需求，正所谓“磨刀不误砍柴工”，只有去了解了度量的工具，才能更好的运用它。
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（2）量角器动态的呈现，认识单位角1°
T:首先用一条边绕着端点旋转180°即动态角形式呈现半圆，接着动态的呈现分180个小角的过程，并从180个1°角中抽离一个1°角，让学生说一说对1°角的感觉。
T：在学生的惊叹声中，介绍把半圆平均分了180个小角，规定每一个小角的大小就是1°。为什么会发出惊叹呢？半圆中有几个1°角？
S：密密麻麻有180个。太多了，看不清，能不能省去一些线啊？
T：抽离出一个1°角。你们想对1°角说些什么呢？
S：太小了，太密了，快看不出来了。
T：如果用两个食指当做两条边，能叉开多少？做一做。
S：学生食指做1°角，都说叉开很小。
教学意图：让量角器退到最始阶段，回到知识的胚胎中。在动态的演示，让学生直观的感知到，量角器是把半圆平均分成180个1°角。并通过说一说，做一做感知和建立单位角1°的表象。又在动态地展示，静态地想象中发展学生的空间观念。学生感悟到了密密麻麻太多线，也自然为后面的简化埋下伏笔。
（3）在量角器上指角和画角，理解量角器的本质即有很多不同度数的角。
①认识10°
T：认识了1°，能通过它找到一个10°角？
S：能，可以通过数的方式，已经有1个1°角了，可以继续数上去数出9个。
T：动态的演示10个1°角叠加的过程。10个1°角合起来变成一个10°角。10°角是由10个1°角合起来的。然后省去中间的边。
教学意图：意在通过1°角的累加得到10°角，既为理解其他度数的角打下基石，即有多少单位就是几度，又建立了10°这个重要角的表象。在渗透度量意识中为度量的方法作了铺垫。
②简化量角器。
T：在量角器上如何找到一个10°角？怎么才能清晰看到这个10°角？为何要标上数字10呢？量角器上有多少个10°角呢？等，通过对这些问题的思考，让学生感悟到有必要要改造和简化量角器，并标上数据的必要性。
教学意图：让学生经历前人创造量角器（改造和简化）的过程。在做中学数学，感悟量角器简化和标上数据的必要性和合理性。更重要的是让学生了经历量角器“再创造”的过程，培养学生质疑、创新的能力。
③在量角器上指角和画角，认识量角器的结构，感悟量角的本质。
T：量角器上除了刚才的1°角，10°角外，还有其他度数的角？让一个学生到大屏幕上指一指。（先指顶点，然后再指两条边）并说一说有几个1°角？还有没有其他度数的角？
S：还有很多。（学生的热情很高）
T：把你心里想的那个角在量角器上画出来，并写出它的度数（作业纸上有一个量角器）
反馈时会选择各种不同度数的角（锐角、直角钝角；整十度数角，非整十度数角，并提出量角器中哪些地方是比较特殊？
S：量角器中间的那个地方，是很多角的顶点。还有0的那条线，角都是从那里开始的。
T：随机板书：中心点和0刻度线。
T：反馈变式“80°角可以不？”
S1：可以从90°那条线数一数有几个1°角。
S2：他是把90°线当做了0刻度线。就像量长度一样，每条线都可以当做0刻度线，再数一数有几个就好来。
S3：不用数的，用大的那个170°—90°=80°。
S4：我有个问题，它的方法有缺点“从90°线开始，只能量直角和锐角”，如果从0刻度开始量，就可以量锐角、直角和钝角等很多角。
S:是的，从0刻度开始，还不要“数”和“减”，直接看“最后的数”就行了。
教学意图：通过量角器上“指角”“画角”，沟通了量角器与角的关系，理解了量角器的本质，也自然地认识了中心点和0刻度线。在反馈“变式角”时，沟通了已激活的长度度量经验，同化了看量角器上数据的方法，理解了角的大小就是有多少个单位角。交流中S3和S4的回答无疑优化了从0刻度线开始测量的方法，让更多的学生理解从0刻度线开始量的合理性。
片段四：理解量角的本质，概括量角的方法
（1）第二次尝试测量
T：刚才小朋友发现了量角器上有很多不同度数的角？现在我们再来看看第一次量的那个角，你能不能在量角器上找到一个与它一样大的角。在量之前先估计一下这个角有多大？
教学意图：估计的目的三点：其一，驱动量角器的需求，测量是为了证明自己的估计；其二，有了一个估计的度数，就会找到量角器上相应的度数和它比较；其三建立不同度数的直观表象，提高学生的估计能力，发展学生的空间观念。
反馈方法一：从0刻度开始量。全班的注意力都集中到“他是怎么找到相同角的”。
S1：他是顶点对顶点，0度线对边的。
S2：顶点对中心点，0度线对一条边，然后看另一条边是60，这个角就是60°。
在交流中概括出，找到相同的角就是原来比较大小的方法，及用角的中心点对这顶点，用0刻度线对这一条边，然后去看另一条边。
反馈方法二：不是从0刻度线开始量。进一步理解量角的方法是看被测量中有多少个单位角。
教学意图：学生已有定性比较角大小的方法和经验，而量角的本质也是“比较”，沟通两者之间的关系，理解量角这件事很简单了。但量角的思想和方法需要显性的操作方式，即把“顶点和中线点、一条边和0刻度线”重合，然后再看另一条边。这种方法是在学生经历过程后，有感而悟，水到渠成。第二种度量的方法让学生进一步地理解了量角就是看有多少个单位角。
（2）变式角的度量。
教学意图：引入变式角的问题情境是为了凸显量角的本质，更为学生的探索和创造提供了空间和时间。学生果然创造了许多很好的方法：方法一是用旋转纸张的办法，使变式角转化为一个标准角。这是数学常用的数学思想方法的运用；方法二是选择量角器（生：把量角器翻转个身）“创造了出了量角器上两圈刻度的萌芽思想”；方法三完全抛弃了数字的限制，真正的把任何一条刻度线当做了0刻度线。三种方法都是在经历简易量角器不足之后，创造性的运用了活用量角器，并自发向两圈刻度的转变。由来这种体验和感悟后认识两圈的量角器就非常简单了，更为重要是这种经历，这种改变就是创新能力的发展。
六、数据对比和结论
不同方式的教学后结果差异也是比较大的，特别是“对量角器的认识和量角的方法的理解”，对比班学生知之甚少，而我们实验班的学生则基本清楚。测量角的速度和正确率也比对比班要高，特别是对非常规角的测试，正确率也高了很多。究其原因，是我们改变了传统简单的传授，让学生经历量角器解构、重组的动态的形成过程，在量角器上指、画等环节，沟通量角器与角之间关系，真正的理解理解量角器。又激活学生“原有比较角大小的经验和方法和长度度量的思想”，让学生自主探索量角的方法中理解度量的就是在量角器上用“比较和重合”的思想找到相同大小的角。
所以我们认为在教学“角的度量”前的渗透也很重要。在角的认识系列教学中，要让学生感悟角是有大小的，在运用各种定性比较角大小的方法中，重点帮助学生积累比较的方法和经验（特别是相同角的比较）。这是定量刻画角大小的基石；在度量教学中，应渗透度量的本质即被测量与工具上标准量“比较”和“重合”的思想。虽然长度测量和角的度量在具体的操作上有所区别，其本质是一样的。
弗兰登塔尔认为“将数学作为一个现成的产品来教，只是一种模范的数学。”从我们的实践来看，我们觉得“角的度量”不应该再是一种简单的模范和训练的单纯的技能学习，而应该让它成为学生思考、尝试探索、创新和实践的沃土。
参考文献：
[1] 华应龙.让学习像呼吸一样自然——以角的教学为例 [J]，人民教育，2007.2：46-51.
[2]刘加霞.技能学习不是简单的模仿和训练[J]，人民教育,2007.12：51-52.
[3]张春莉.一堂课达至的新境界 [J]，人民教育，2007.5：41-43.
[4]刘加霞.基于图形“度量特征”的本质与结构落实有效教学[J]，小学教学,2012.04：23-24.
论文作者:陈伟
论文发表刊物:《教育学文摘》2019年第16期
论文发表时间:2020/3/2
标签：量角器论文; 学生论文; 度量论文; 刻度论文; 方法论文; 度数论文; 测量论文; 《教育学文摘》2019年第16期论文;