李如平
摘要：本文针对学生难于将抽象的文字表述转化为头脑表象的现象，提出了画草图，把复杂的数学问题简明化、形象化的观点，从而使学生隐性思维显性化，并从三个方面加以论证。
关键词：草图；直观；思维
笛卡尔曾说：“没有图形就没有思考”，只用大脑思考常常会“思考偏题”，但用草图可以纠斜，还可节省繁文缛节，其实画草图的过程就是思维展示的过程。手脑并用，可缩短学生与数学的距离，让数学思维可视。在教学中，笔者对用草图教学进行了一些有效的尝试，具体的教学实践与反思如下：
一、画草图，帮助理解题意
美国著名数学家斯蒂恩说：“如果一个特定的问题可以转化为一个图像，那么就整体地把握了问题，并且能创造性地思索问题的解法。”因此，将问题转化为一个图形，把问题中的条件和结论直观地、整体地表露出来，是一种十分重要的解题方法。数学题中经常有许多文字信息的问题，学生由于缺乏读题能力，对这些枯燥乏味文字，往往百读不得其解，因此个别学生认为题意复杂而不愿读题。故而，笔者常向学生推荐草图工具，使“数”添“形”，以“形”助数，从而培养学生的思维，提高分析能力。
案例1：以下是笔者在2012年第1版《义务教育教科书?数学》七年级下册“2.4二元一次方程的应用(1)”课内练习第2题教学时，与学生合作的“翻译”(如图1)：
甲、乙两人从相距36千米的两地匀速相向而行。如果甲比乙先走2小时，那么他们在乙出发后经2.5小时相遇；如果乙比甲先走2小时，那么他们在甲出发后经3小时相遇。请问甲、乙两人每小时各走多少千米?
师：请同学们认真细致“读”题，随后请同学演示。
师：(一分钟后)××同学起立，扮演甲；再请××同学起立，扮演乙，按题目中的信息演示一下，现在开始！
生1：××错了错了，是“相向而行”！
生2：××你可是甲，一开始你先走！
师：你们能将刚才的演示“画”在纸上吗？
生：(齐声)能！(如图1)
师：为了便于分析与思考，我们还得把题中条件和问题标注到草图中！
生3：怎么标呀？甲、乙两人每小时各走多少我又不知道！
生4：(急忙搭腔)难道你不会设甲、乙速度分别为x，y千米/时吗？
生3：哦，噢，这难不倒我！我的妙图出炉喽！(如图2)
师：干得真漂亮！你们能列出数量关系解答吗？
学生根据草图深入推敲，挖掘隐含信息，以路程作为等量关系，列出方程关系进行解答：
设甲，乙速度分别为x，y千米/时，依题意得：
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解得：
答：甲的速度是6千米/每小时，乙的速度是3.6千米。
在初始阶段，部分学生的草图习惯主要是模仿教师的草图来完成的，尤其是教师在教学例题时要清清楚楚、原原本本地把题中的信息反映到草图上，并且要求其也能做到这一点。本人总结出了以上的画草图方法，将其命名为“五步法”——读、画、标、解、查，让学生有“章”可循。久而久之，整理信息不是教师的指令，而是学生在解题过程中最真实、最迫切的需要，这种画草图能力经过培养是可以具备的。此时提醒孩子们注意要对题中的信息咬文嚼字，借助草图，把题目的意思“译”出来，有助于快速理解题意。
二、画草图，显现学生思维
荷兰数学教育家弗赖登塔尔也说：“数学学习是一种活动，这种活动与游泳、骑自行车一样，不经过亲身体验，仅仅从看书本、听讲解、观察他人的演示是学不会的。”在数学教学中，在遇到难题时学生经常会无所适从，而部分教师此时可能会拼命讲解，用自己的讲解代替了学生的思考，忽略了学生的参与体验数学的过程。只有充分经历数学的过程，才能认识数学的规律。
案例2：浙教版2012年第1版《义务教育教科书数学》七年级上册“5.4一元一次方程的应用(4)”作业第2题：某班有学生45人，会下象棋的人数是会下围棋人数的3.5倍，两种棋都会或都不会的人数都是5人,求只会下围棋的人数。
笔者在教学中可能也会容易忽略一个重要的“细节”：
在给学生指导分析问题时，常常一边指导一边在不经意间随手画出草图(如图3)分析，这相当于帮学生画出了草图，当时学生只是看懂，过后在习题中遇到类似题却不知道要画什么，原来学生看图能力强于作图能力，我们姑且可以称之为“眼高手低”，无奈“讲了八百遍学生还不会”的教学难题再度蔓延。
学生熟悉借助草图解题需要一个较长的过程，若操之过急，会欲速不达，所以一开始就应对学生提出草图要求。于是又安排了一节习题课补上一脚，让孩子们在“画图”、“讨图”的过程中，帮助其把隐性的理解显性地表现出来：
生5：如图4
生6：不对，××你看清那个“都”字了吗？两种棋都会或都不会的人数都是5人！
生5：对呀，我修改一下，如图5，这下对了吧？
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图4 图5
生7：你的只会象棋的人数与我的对不上，题目中说的是“会下象棋的人数是会下围棋人数的3.5倍”！
生5：是的，你看，题目求只会下围棋的人数，我就设只会下围棋的人数为 人，两种棋都会是5人，那会下围棋的人数不就是 人了，于是我根据“会下象棋的人数是会下围棋人数的3.5倍”，得到会下象棋的人数为 人，啊！我错了，只会下象棋的人数应为 人（如图5）。
笔者不惜用大量的时间给予学生尝试、讨论的机会，虽用时较多却价值斐然，可谓磨刀不误砍柴工。此时更应给他们充足的时间，我们可以引导学生用草图的方式把隐含在头脑里的表象暴露出来(如图3、图4、图5……)。笔者看到这些图时，对学生的一些似是而非的模糊理解颇为惊讶，原来学生会这样想，他们的想法居然各不相同。
解：设只会下围棋的人数为 人，则只会下象棋的人数应为 人
解得
答：只会下围棋的人数为5人.
通过对草图的分析和交流探查到每位学生更深层次的想法，学生的思维逐步从不完善走向完善，从一知半解到深入透彻。学生们知道了数学式的“咬文嚼字”， 弄懂了怎样根据题意画草图，找到草图的诀窍，“内化”了草图策略。正如美国图论学者哈里的一句名言“千言万语不及一张图”所说，将一个特定的问题转化为一个图像，整体地把握问题，学生几乎不需什么力气，快速、准确地解决了此题，草图功不可没。
三、画草图，化解思维挫折点
有专家认为，“如果知识背后没有工具，那知识只能是一种沉重的负担。”随着年段的变化，数学的内容也更复杂，许多综合题包含着不同角度、综合考查的知识点。这就让很多一部分学生犯怵，他们心里会产生一种莫名的“恐惧感”。这时，就要引导学生以草图工具为抓手，以理解为线索，以不变涵盖多变，从而化解其思维挫折点。
案例3：如图6，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，动点P从点D出发沿DA向终点A运动，同时动点Q从点A出发沿对角线AC向终点C运动．过点P作PE∥DC，交AC于点E，动点P、Q的运动速度是每秒1个单位长度，运动时间为x秒，当点P运动到点A时，P、Q两点同时停止运动，设PE=y；
(3)是否存在这样的点P和点Q，使P、Q、E为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由．
此时部分教师可能会将问题的难点分解后进行讲解，笔者认为这样问题本身也就失去了其思考的价值，“吃别人嚼过的馍没味道”正是这道理。在实践教学中，笔者倡导学生“带着笔墨，去审题”，要求尽量根据题意画出符合题意的各类型草图，学生尝试把“问题”画出来(如图7、图8、图9)：
学生根据点的运动，主动抓拍了以上三幅关键状态草图，不过那仅是当点Q在线段AE上的一种情况，此时教师可以提问学生：.jpg)
师：点Q与点P是否已停止运动？
生8：(经过片刻画图)对哦，点Q与点P还会继续运动，点Q还可能在线段CE上！
笔者引导他们自行补充当点Q在线段CE上的另一种情况(如图10)，将动点问题彻底做到化动为静，化解学生最初的思维挫折点，让学生看到了解题的“曙光”。
于是，草图成为学生思维的拐杖，笔者引导其按图索骥：
师：以上四幅图中，你能求得哪幅图中x的值?
生9：我能求图8和图10中x的值！
先由图8中PE∥DC得，
即
解得
由图10中的 得
解得：
又由图12中的 得
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解得：
然而图7或图9中的PQ实在难以求得……
师：图7或图9中的PQ实在难以求得，我们能不能不通过求PQ，绕道而行呢？
生10：由图9，我发现了∠APE为直角，易证QE=QP=QA，
即
解得
师：好，××同学观察特别仔细！
生11：等腰？等腰！三线合一！(请他上台构图)由图11发现其中的△PEH与△ACD相似可求得x的值！
解：在图7中过点P作PH⊥QE于点H，如图11，由△PEH相似于△ACD得
即
解得：
故而，此题存在这样的点P和点Q，使P、Q、E为顶点的三角形是等腰三角形；所有满足要求的x的值为 ，学生的思维挫折点得以彻底的化解。
在整个探索过程中，笔者引导学生借助草图，让其“画好图”、“用好图”，同时吸引全体的学生参与到教学过程中，使其处于一种积极状态，慢慢消除了他们的“恐惧”心理。当图7或图9中的PQ实在难以求得，学生的思维再次受挫时，笔者呼吁以草图为抓手，随着脑和图的同步，学生的思维在慢慢地扩散、层层地铺开，再次按图索骥，抓住解题的关键。
总之，画草图不是最终目的，它只是一种强有力的工具，是一种解题习惯。通过画草图，学生把“无形”的数学题变成直观的“有形”材料，助思考促理解。在数学教学过程中，我们教师也要尽量让数量基于草图“显山露水”，架起形象思维和抽象思维之间的桥梁，成就思维的拐杖，从而达到最高境界教学——脑中成图。
参考文献：
[1]张奠宙，郑毓信.数学教育哲学的理论与实践[M].南宁：广西教育出版社，2008.
[2]李德忠，赵同娟. 注重变式训练 提升思维品质[J].中国数学教育(高中版)，2009(7).
[3]罗增儒.解题分析的理念与实践[J].中学数学教学参考，2009(4).
[4]王亚权.第二轮中考数学复习习题的选择与利用(一)[J].中国数学教育(初中版)，2011(3).
作者单位：浙江省平阳县万全镇宋桥中学
邮政编码：325409
论文作者:李如平
论文发表刊物:《中学课程辅导·教学研究》2014年第3期供稿
论文发表时间:2014-3-11
标签：草图论文; 学生论文; 如图论文; 数学论文; 思维论文; 人数论文; 笔者论文; 《中学课程辅导·教学研究》2014年第3期供稿论文;