逻辑魔方——逻辑方阵内在机制及其普适性探讨，本文主要内容关键词为：逻辑论文,方阵论文,魔方论文,机制论文,普适性论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
本文所谓“逻辑魔方”，即逻辑学中的逻辑方阵。谓之“魔方”，是因为这个方阵实在是太神奇了，以至于古罗马的鲍依修斯（Boethius）正式绘出这个方阵以来，时间推移了一千五百多年，可是对于它的内在机制，它所蕴含着的深刻思想及其广泛的应用价值，我们虽然有所认识和揭示，但实际上还是相当不够的。
一、逻辑方阵内容的一般描述及问题的提起
众所周知，逻辑方阵是表示素材相同的四种直言命题A、E、I、O之间真值对应关系即对当关系的图形。
A、E、I、O之间的对当关系有四种类型：
（1）A命题与E命题之间的关系为反对关系：不能同真， 可以同假。
（2）I命题与O命题之间的关系为下反对关系：不能同假， 可以同真。
（3）A命题与I命题、E命题与O 命题之间的关系为差等关系：可以同真，可以同假。具体说，全称命题真，则同质的特称命题真；全称命题假，则同质的特称命题可真可假；特称命题假，则同质的全称命题假；特称命题真，则同质的全称命题可真可假。直言命题之间的差等关系，实际上就是全称命题蕴涵同质的特称命题的关系，因此也称之为蕴涵关系。
（4）A命题与O命题、E命题与I 命题之间的关系为矛盾关系：不能同真，不能同假。
逻辑学中，通常用一个正方形将这四种关系表示如下：
此图形即为逻辑方阵。
此外，逻辑方阵还可以用来表示四种模态命题□p、□
p、◇p、◇p之间以及四种规范命题Op、Op、Pp、Pp 之间类似直言命题对当关系的真值对应关系，从而构成模态命题逻辑方阵和规范命题逻辑方阵：
必须说明的是，规范命题是规范社会行为的命题，不存在真假问题，而只有正确不正确或对错问题；因此规范命题逻辑方阵所表示的，实际上是四种规范命题之间正确不正确或对错的关系。
以上，就是现在逻辑教材（以及逻辑著作和辞书）中关于逻辑方阵的基本内容。应该承认，这些内容本身都是完全正确，无懈可击的。问题在于：逻辑方阵体现命题之间对当关系的内在机制究竟是什么？四种对当关系之间是否存在逻辑上的必然联系？除了可以适用于直言命题、模态命题和规范命题之外，逻辑方阵是否存在更加普遍的意义呢？
二、逻辑方阵之谜
逻辑方阵首先是用来说明直言命题对当关系的。因此，要想了解逻辑方阵体现命题之间对当关系的内在机制，解开逻辑方阵之谜，理所当然应从直言命题开始。
逻辑方阵不是亚里士多德的创造，然而逻辑方阵所表示的直言命题之间的四种对当关系，毫无疑义是由亚里士多德总结出来的。据鲍钦斯基在《古代形式逻辑》中的分析，亚里士多德的《工具论》中提到了或使用了下列对当关系：
（1）SAP
SIP
（2）SEPSOP
（3）～SIP～SAP
（4）～SOP～SEP
（5）SAP～SEP
（6）SAP～SOP
（7）～SAPSOP
（8）SEP～SAP
（9）SEP～SIP
（10）～SEPSIP
（11）SIP～SEP
（12）～SIPSEP
（13）SOP～SAP
（14）～SOPSAP（注： I·M·BOCHENSKI《ANCIENT FORMALLOGIC》P49—50。）
不难看出，（1）、（2）、（3）、（4）即差等关系，（5）、 （8）即反对关系，（6）、（7）、 （9）、（10）、（11）、（12）、（13）、（14）即矛盾关系，至于下反对关系的特称肯定命题与特称否定命题，亚里士多德也主张不能两者都假，但可以都真。（注：威廉·涅尔、玛莎·涅尔《逻辑学的发展》，商务印书馆，1985年11月第1版，第73、72页。）正如《逻辑学的发展》一书所指出的那样，“关于全称陈述句与特称陈述句之间的对当关系”是“亚里士多德理论中最重要的和最有影响的部分”，而对当方阵则“对亚里士多德的学说作了有益的综述”。（注：威廉·涅尔、玛莎·涅尔《逻辑学的发展》，商务印书馆，1985年11月第1版，第73、72页。）
其实，在鲍依修斯制出逻辑方阵以前，斯多葛学派的阿普里乌斯（APULEIUS）就制出了一个图形，举例描述四个直言命题之间的对当关系。（注：马玉珂《西方逻辑史》，中国人民大学出版社，1985年6月第1版第138页。）其图形如下：
显然，这个图形不够简洁，特别是不够完全，漏掉了差等关系。然而正是在这个图形的基础上，鲍依修斯才绘出了沿用至今的逻辑正方形。
以上事实说明：不是先有逻辑方阵然后才有对当关系，而是先有对当关系然后才有逻辑方阵；逻辑方阵不过是关于对当关系的直观表示和有益的综述。因此，要破解逻辑方阵之谜，就必须从考察对当关系入手，研究四种对当关系之间的逻辑联系，从而找出逻辑方阵的图形吻合对当关系的内在机制。
在这里，我们使用命题逻辑的联结词分别表示四种对当关系。
A与E之间的反对关系：不能同真，可以同假，表示为：（A∧E）
____
__
，或A∧E或A∧E。
I与O之间的下反对关系：不能同假，可以同真，表示为：I∨O
A与I、E与O之间的差等关系：全称命题蕴涵同质的特称命题，表示为：A→I、E→O。
A与O、 E 与I 之间的矛盾关系：不可同真也不可同假， 表示为：A∨O、E∨I。
可以发现，前三种关系的表达式，如果稍作转换，即显示出等值关系。
__
（1）反对关系（A∧E）与下反对关系（O∨I）等值：
__
A∧E
_ _
A∨E （德·摩根律）
O∨I （负命题等值转换）
（2）下反对关系（O∨I）与差等关系（A→I）等值：
O∨I
_
O→I
（蕴涵析取互换）
A→I
（负命题等值转换）
（3）两个差等关系（A→I与E→O）之间等值：
A→I
_ _
I→A（蕴涵逆否律）
E→O（负命题等值转换）
去掉中间转换步骤，将四种对当关系的表达式用等值号联结起来：
A∧EO∨IA→IE→O
调整四个表达式的相互位置：
A∧EE→OO∨IA→I
将“A→I”写作“I←A”：
A∧EE→OO∨II←A
这样一来，等值号连接的四个表达式，相邻的肢命题都是相同的，而且最后一个表达式的后一
个肢命题与最前一个表达式的前一个肢命题也是相同的：
相同 相同 相同
__
A∧EE→OO∨II←A
相同
将此等值串首尾相联，即构成一封闭的等值环：
略去等值符号，相邻表达式的相同肢命题的符号也略去一个，留下一个共用，于是成为如下形式：
A
∧
E
↓↓
I
∨
O
连上对角线，并略作加工，成为如下图形。由于A与O、E与I为矛盾关系，在对角线交叉处标上“∨”：
＿
如果将此图形中的联结词符号“∧”、“∨”、“→”、“∨”分别换成“反对关系”、“下反对关系”、“差等关系”、“矛盾关系”字样，就是我们非常熟悉的对当关系逻辑方阵了：
从上述分析中，可以引出下述结论：
（1）逻辑方阵对角线所表示的命题间的对当关系（ 简称“对角关系”）为矛盾关系；
（2）逻辑方阵四条周边所表示的命题间的对当关系（ 简称“周边关系”）分别为反对关系（上边）、下反对关系（下边）和差等关系（左、右边），并且这些命题间的上述关系在逻辑上是完全等值的。
事实上，这两条结论，不但完全符合直言命题对当关系，而且对于模态命题对当关系和规范命题对当关系，也是完全符合的。
那么，除了直言命题、模态命题和规范命题外，逻辑方阵是否还适用于其它类型的命题呢？逻辑方阵究竟有没有普遍适用的意义和价值呢？
答案是肯定的。
三、逻辑方阵的普遍适用性
逻辑方阵的实质意义已如上述，即：只要对角线联结的命题属于矛盾关系，那么，其它几种关系中任何一种一旦成立，其它几种关系也就成立了。这种情况，不仅适用于直言命题、模态命题和规范命题，而且广泛适用于各种不同类型的命题。下面，先看几个复合命题的例子。
〔例1〕
（此方阵图中略去了对角线和周边上的逻辑联结词标志，下同。如果我们对逻辑方阵已经比较熟悉了，可以采用这种简洁画法。）
对角命题（（p∧q）与（p∧q）、（p∨q））与（p∨q）为矛盾关系，并且左边命题（（p∧q）与（p∨q））为差等关系，因此下述关系均成立：
（1）上边命题为反对关系，即：
（（p∧q）∧（p∨q））
（2）下边命题为下反对关系，即：
（p∨q）∨（p∧q）
（3）右边命题为差等关系，即：
（p∨q）→（p∧q）
证明如下。
证明（1）：
（（p∧q）∧（p∨q））
（（p∧q）∧（p∧q））
（德·摩根律）
（（p∧q）∧（q∧q））
（交换律、结合律）
（p∧q）∨（q∧q）
（德·摩根律）
1∨1 （矛盾律）
1
证明（2）：
（p∨q）∨（p∧q）
（p∨q）∨（p∨q）
（德·摩根律）
（p∨p）∨（q∨q）
（交换律、结合律）
1∨1 （排中律）
1
证明（3）：
（p∨q）→（p∧q）
（p∨q）∨（p∧q）
（蕴涵、析取互换）
（p∨q）∨（p∨q）
（德、摩根律）
（p∨p）∨（q∨q）
（交换律、结合律）
1∨1
（排中律）
1
简单命题与复合命题之间的关系也完全可以在逻辑方阵中得到体现或验证。比如：
〔例2〕
对角命题（p与p、（p∨q）与（p∨q））为矛盾关系，并且左边命题（p与（p∨q））为差等关系，因此下述关系均成立：
（1）上边命题为反对关系，即：
（p∧（p∨q））
（2）下边命题为下反对关系，即：
（p∨q）∨p
（3）右边命题为差等关系，即：
（p∨q）→p
证明如下：
证明（1）：
（p∧（p∨q））
p∨（p∨q） （德·摩根律）
（p∨p）∨q （结合律）
1∨q
（排中律）
1
证明（2）：
（p∨q）∨p
（p∨p）∨q
（交换律、结合律）
1∨q
（排中律）
1
证明（3）：
（p∨q）→p
（p∨q）∨p（蕴涵析取互换）
（p∨p）∨q（交换律、结合律）
1∨q（排中律）
1
总之，逻辑方阵不但适用于直言命题、模态命题、规范命题，而且适用于各种类型的复合命题以及简单命题与复合命题兼而有之的情形。一言概之，逻辑方阵适用于一切命题：只要对角命题属于矛盾关系并且周边命题任一关系成立，那么周边命题其他关系也一定成立。因此完全可以说，逻辑方阵具有普遍适用的意义和价值，即具有普遍适用性。过去谈论逻辑方阵及其应用，人们往往只是专情于直言命题，或者至多再移情于模态命题和规范命题，显然是有些狭隘和局限了。
四、逻辑方阵的应用价值
关于逻辑方阵的应用价值，我们过去的认识实在是太肤浅，太不够了。在我们看来，逻辑方阵只不过是帮助我们记忆和把握命题之间（而且只是少数几种命题之间）的真值对应关系的辅助工具而已。一方面，我们对于它的普遍适用性缺乏清晰的认识，同时，对于它的应用价值我们也是相当盲目的。事实上，逻辑方阵不仅仅只是记忆和把握命题之间真值对应关系的一种有效工具，它更是探讨和发现命题之间真值对应关系的有力手段。在这里，主要谈一谈逻辑方阵在判定等值关系和判定重言这两个方面的作用。
（一）逻辑方阵用于判定等值关系
本文第二部分在分析逻辑方阵的基础上曾经引出两条结论，其中第二条指出，方阵四条周边所表示的命题间的对当关系，在逻辑上是完全等值的。据此，我们可以应用逻辑方阵，快捷而又准确地找到与某个命题形式具有等值关系的其他命题形式，或广而言之，判定或确定命题形式之间的等值关系。请看以下两个例子。
〔例3〕
运用逻辑方阵，确定与“p→q”具有等值关系的其他命题形式。
第一步，在方阵图上标出“p→q”，即：在左上角标上“p”， 左下角标上“q”。
第二步，在方阵图其余两角分别标上“p”和“q”的矛盾命题，即：在右上角标上“q”，右下角标上“p”。
这时，方阵图上即显示出与“p→q”具有等值关系的几个命题形式，它们分别为：（p∧q）（上边）、p∨q（下边）和q→p（右边）。
〔例4〕
运用逻辑方阵，确定与“（p→q）∨（p←q）”具有等值关系的其他几个命题形式。
第一步，在方阵图上标出“（p→q）∨（p←q）”，即：在左下角标上“p→q”，右下角标上“p←q”。（见图（1））
第二步，在方阵图上标出“p→q”和“p←q”的矛盾命题，即：在左上角标上“p∧q”（或“（p←q）”），在右上角标上“p∧q”（或“（p→q）”）。（见图（2））
据（2），可确定与“（p→q）∨（p←q ）”具有等值关系的命题形式有：（（p∧q）∧（p∧q））（上边）、（p∧q ）→（p→q）（左边）、（p∧q）→（p←q）（右边）。
（二）逻辑方阵用于判定重言式
一切重言式都是逻辑上永真的命题形式，从这个意义上说，一切重言式都是等值的。换言之，如果我们已经知道某个命题形式属于重言式，那么与这个命题形式具有等值关系的命题形式也必定是重言式了；反之，如果某个命题形式不属于重言式，那么与这个命题形式具有等值关系的命题形式也一定不会是重言式。所谓逻辑方阵用于判定重言式，指的就是这个意思。请看下面的例子。
〔例5〕
已知（p→q）∧p→q为重言式，运用逻辑方阵找出有关的重言式。
第一步，将已知重言式“（p→q）∧p→q”标于逻辑方阵之对应位置：“（p→q）∧p”标于方阵之左上角，“q”标于方阵之左下角。
第二步， 在方阵图上标出“（p→q）∧p”与“q ”的矛盾命题“（（p→q）∧p）”与“q”于相应位置：前者标于方阵之右下角，后者标于方阵之右上角。
这时，方阵图上边、下边和右边的命题形式即为所要求解的重言式，它们分别是：
（1）上边：（（（p→q）∧p）∧q）
（2）下边：q∨（（p→q）∧p）
（3）右边：q→（（p→q）∧p）
试验证如下。
验证（1）：
（（（p→q）∧ p）∧q）
（（p→q）∧p）∨q
（德·摩根律）
（p→q）∨ p∨q
（德·摩根律）
（p→q）∨（p→q）
（蕴涵析取互换）
1 （排中律）
验证（2）：
q∨（（p→q）∧p）
q∨（p→q）∨p
（德·摩根律）
（p∨q）∨（p→g）
（交换律、结合律）
（p→q）∨（p→q）
（蕴涵析取互换）
1（排中律）
验证（3）：
q→（（p→q）∧p）
q∨（（p→q）∧p）
（蕴涵析取互换）
q∨（p→q）∨p
（德·摩根律）
（p∨q）∨（p→q）
（交换律、结合律）
（p→q）∨（p→q）
（蕴涵析取互换）
1
（排中律）
显而易见，逻辑方阵之判定重言式，是以逻辑方阵具有判定等值关系的功能为基础、为前提的，或者说，是逻辑方阵判定等值关系功能的扩展。从这一点看来，逻辑方阵的实际应用功能，归根结底还是在于判定等值关系。