彭实戈[1]1997年在《倒向随机微分方程及其应用》文中研究指明本文将介绍一类新的方程：倒向随机微分方程．为便于理解，我们将首先通过与常微分方程和经典的随机微分方程（Ｉｔ．ｏ方程）的对比．并通过数理经济和数学金融学中的一个典型的例子来引入倒向随机微分方程．然后给出解的存在唯一性定理和比较定理．并介绍非线性Ｆｅｙｎｍａｎ－Ｋａｃ公式，它给出了倒向随机微分方程的解与一大类常见的非线性偏微分方程（组）的解之间的对应关系，从而为将来利用Ｍｏｎｔé－Ｃａｒｌｏ型的随机计算方法计算大量的偏微分方程开辟了新的途径．最后介绍倒向随机微分方程在金融数学中的应用
杨杰[2]2017年在《正倒向随机微分方程的数值解法及其在PDEs中的应用研究》文中提出1990年,Pardoux和Peng(彭实戈院士)[68]解决了一般形式的非线性倒向随机微分方程(BSDEs)解的存在唯一性.这一重大成果奠定了倒向随机微分方程的理论基础.1991年,Peng[74]给出了非线性Feynman-Kac公式,建立了 BSDEs的解和二阶拟线性PDEs解之间的关系.正倒向随机微分方程(倒向随机微分方程)逐渐发展成为随机分析理论中的重要分支.正倒向随机微分方程在随机最优控制、金融数学、非线性期望、偏微分方程理论、风险度量以及随机博弈等领域有重要的应用.通常情况下,很难找到FBSDEs的解析解的显式表达.因此,正倒向随机微分方程的数值解法研究对FBSDEs的理论和应用研究有十分重要意义.本文主要研究维纳过程驱动的正倒向随机微分方程(FBSDEs)和带跳的正倒向随机微分方程(FBSDEJs)的数值解法及其应用.我们从正倒向随机微分方程理论及其解的结构出发,结合确定性数值方法理论,严格理论分析了求解正倒向随机微分方程的Crank-Nicolson格式和多步数值格式;提出了求解带跳的正倒向随机微分方程的显式预估矫正格式,并对其进行了严格的理论误差估计;给出了 Dirichlet初边值问题和分数阶Laplacian方程的倒向随机描述,研究提出了求解Dirichlet初边值问题和分数阶Laplacian方程的倒向随机算法,并严格理论数值分析了所提算法的一阶收敛性;基于Peng[79]的G-布朗运动定义,研究提出了 G-布朗运动的数值模拟算法,数值理论分析了该算法的稳定性和有效性,该算法对G-布朗运动驱动的正向和倒向随机微分方程的理论和应用研究有重要作用.论文的主要贡献及创新(1)严格理论证明了求解非耦合的FBSDEs的Crank-Nicolson格式的二阶收敛性,填补了文章[112]对Crank-Nicolson二阶格式理论分析的空缺.部分研究成果已发表在 Sci.China Math.[55].(2)严格理论分析了文章[111]中提出的求解FBSDEs的多步数值方法的高阶收敛性.部分研究成果已发表在East Asian J.Appl.Math.[99].(3)提出了求解带跳的FBSDEs的预估矫正显格式,严格理论数值分析了该格式的稳定性和二阶收敛性.部分研究成果已发表在East Asian J.Appl.Math.[36].(4)提出了二阶抛物型偏微分方程Dirichlet初边界问题的倒向随机解法,严格理论数值分析了所提解法的一阶收敛性.部分研究成果已被J.Comput.Math.接受发表[98].(5)给出了分数阶Laplacian方程的α-稳定跳的倒向随机表示,提出了求解分数阶Laplacian方程的倒向随机算法,严格地数值理论分析了所提格式的一阶收敛性.部分研究成果已完成待发表[94].(6)提出了 G-布朗运动的数值模拟算法,G-布朗运动及其相关的数值模拟,表明所提算法的稳定性和有效性.该算法对G-布朗运动驱动的SDEs和BSDEs的科学计算有重要应用意义.部分研究成果已发表在Front.Math.China.[100].论文的框架本论文共有六章.第一章引言简单介绍所研究问题的背景、动机和发展情况.第二章预备知识介绍与随机微分方程(包括带跳的)相关的基础知识,给出正倒向随机微分方程、带停时的正倒向随机微分方程和带跳的正倒向随机微分方程的解与相应的抛物型偏微分方程解的关系,即叁类不同形式的Feynman-Kac公式,以及一些本论文用到的其他必备知识.第叁章FBSDEs高阶数值解法的误差分析主要研究正倒向随机微分方程的两种高阶数值格式:Crank-Nicolson格式和多步数值格式[111],给出格式推导和相应的误差分析.第一部分,基于Taylor展开和Ito-Taylor展开,Malliavin积分理论以及截断误差相消技术,严格理论证明求解正倒向随机微分方程的Crank-Nicolson格式的二阶收敛性.第二部分,针对一种特殊形式的FBSDEs,在合理假设下我们证明多步数值格式高阶收敛性,即k步格式可达k阶收敛.本章内容来自● JIE YANG AND WEIDONG ZHAO,Convergence of recent multistep schemes for a forward-backward stochastic differential equation,East Asian J.Appl.Math.,5(4),pp.387-404,2015.(SCI)● YANG LI,JIE YANG,AND WEIDONG ZHAO,Error estimates of the Crank-Nicolson scheme for solving decoupled FBSDEs,Sci.China Math.,60(5),pp.923-948,2017.(SCI)第四章FBSDEJs的预估矫正解法主要研究带跳的正倒向随机微分方程的预估矫正方法.首先,通过鞅理论和条件期望的性质,给出预估矫正格式的参照方程;然后引出误差方程,再对误差方程进行分析,得到一般稳定性结果;最后在一定正则性条件下,得到该格式的误差估计,并用数值实验加以验证.本章内容来自● Yu Fu,JIE YANG AND WEIDONG ZHAO,Prediction-correction schemes for decoupled forward backward stochastic differential equations with jumps,East Asian J.Appl.Math.6(3),pp.253-277,2016.(SCI)第五章FBSDEs在PDEs中的应用基于正倒向随机微分方程理论和PDEs理论,研究正倒向随机微分方程在Dirichlet初边界问题和分数阶Laplacian方程中的应用.第一部分,研究Dirichlet初边值问题的FBSDEs数值解法.首先,给出Dirichlet初边值问题的一个概率表示,即Dirichlet初边值问题的解可由一带停时的正倒向随机微分方程的解表示.根据该表示,提出求解带停时的FBSDEs的隐式Euler格式,并分析该格式的收敛性,最后给出数值实验验证方法的有效性和收敛性.第二部分,主要研究分数阶Laplacian方程的FBSDEs数值解法.给出了分数阶Laplacian方程的倒向随机表示,即α-稳定跳过程驱动的FBSDEs的概率描述,根据该随机表示,提出分数阶Laplacian问题的倒向随机数值格式;数值理论分析了格式的稳定性和收敛性.本章内容来自● JIE YANG,GUANNAN ZHANG,AND WEIDONG ZHAO,An accurate nu-merical scheme for forward-backward stochastic differential equations in bounded domains,J.Comput.Math.,Accepted,2016.(SCI)● ClayTON WEBsTER,JIE YANG,GUANNAN ZHANG,AND WEIDONG ZHAO,A probabilistic scheme using Fourier-Cosine series for fractional Laplacia,n equations,Finished.第六章G-布朗运动的数值模拟主要研究G-布朗运动的数值模拟算法.根据Peng[79]的G-正态分布的定义,通过求解特定的HJB方程给出G-布朗运动的数值模拟,对G-正态分布、密度函数、G-布朗运动和G-布朗运动的二次变差过程进行了数值模拟的研究,数值模拟研究表明所提算法是稳定的和有效的,可用于G-布朗运动驱动的SDEs和FBSDEs的理论和应用研究.本章内容来自● JIE YaNG AND WEIDONG ZHAO,Numerical simulations for the G-Brownian motion,Front.Math.China,11(6),pp.1625-1643,2016.(SCI)论文的主要结果第叁章,主要对求解正倒向随机微分方程的Crank-Nicolson格式和多步格式进行了收敛性分析.第一部分:Crank-Nicolson 格式考虑非耦合的FBSDEs:对 0 ≤ t ≤ s ≤ T.给出求解FBSDEs(0.1)的Crank-Nicolson格式如下:格式0.1(Crank-Nicolson格式).假设给定初值条件X0=X0和终端条件=φ.(1)当n = N-1时,△tN-=(△t)2,通过以下方程求解XN yN-1和ZN-1:(2)当n = N-2,...,1,0时,通过以下方程求解Xnn+1,yn和Zn:这里,△Wn,1:=Wtn+1-Wtn和fn:=f(tn,Xn,Yn,Zn),,n=0,1,...,N-1.为了符号简单,我们记对 n = N-2,...,1,0,其中,e▽Yn和e 满足 §3.1 中的(3.24)和(3.25).关于求解非耦合FBSDEs的Crank-Nicolson格式0.1有如下误差估计:定理0.1.在假设2.1-2.2下,若{Xn+1}0≤≤N-2满足弱二阶Ito-Taylor格式,b,σ ∈Cb1,3,f ∈ Cb1,2,2,2,则对 0 ≤ n ≤ N-2,有估计式其中,C>0是一个依赖d,T,K,K'以及b,σ,f导数上界的常数,误差项和i=n,...,N-2,j = 1,2,分别定义在 §3.1 中的(3.15)、(3.19)、(3.24)和(3.25).假设b,σ,f和φ满足一定的正则性条件,通过估计不等式(0.4)右端的误差项即可得下面的估计式(0.5).定理 0.2.假设且,α∈(0,1).若{Xn+1}0<n≤N-2满足弱二阶格式,则在假设2.1-3.1下有其中,C>0是一个依赖d,T,K',K,L,Xt的初值X0以及b,σ,f φ导数上界的常数.第二部分:多步格式考虑如下形式的FBSDEs:求解正倒向随机微分方程(0.42)的多步格式如下:格式0.2(多步格式).假设终端条件yN-i和ZN-i = 0,1,…,-1已知,Xttn,x是(0.6)中SDE的解,对n=N-k,…,1,0,通过下面的方程求解Yn和Zn:对上面的多步格式,关于e_y~n在弱收敛意义有误差估计如下:定理0.3.设(Yn,Zn),0≤n≤N,为由格式0.2得到的数值解.在假设2.4下,αi=αk,i△t,i = 0,1,…,k:,若函数 f(t,X,Y)一致 Lipschitz 连续(Lipschitz 常数为 L),则对 0<△t ≤|α0|L-1 有其中,C>0是仅依赖T、L和k的常数,误差项的定义见§ 3.2中的(3.92).定理0.4.在一定的假设条件下,对有估计式其中,C>0是一个仅依赖T,L和k的常数,误差项和的定义分别见§ 3.2 中的(3.93)和(3.119).定理0.5.在一定的假设条件下,若终端条件满足则对0<△t≤|α0|L-1有其中,C>0是一个依赖T,b,σ,f和φ的常数.第四章,提出带跳的正倒向随机微分方程的预估矫正解法,并对该解法进行理论数值分析.考虑带跳的正倒向随机微分方程:这里 0 ≤ t ≤ s ≤ T.为了提出预估矫正格式,先定义下面两个随机过程:格式 0.3.给定(0.11)中正向SDEJ的初值条件X0和BSDEJ的终端条件(YN,ZN,ΓN),对n =-1,...,0,通过下面的方程求解Yn,Zn和Γn:关于该格式,有下面的稳定性和收敛性结果.定理 0.6.设(Xt,Yt,Zt,rt),t ∈[0,T],和(Xn,Yn,Zn,Γn),n = 0,1,...,N-—1,分别为非耦合FBSDEJs(0.11)的真解和由格式0.3得到的数值解.假设f(t,Xt,Yt,Zt,rt)是一致Lipschitz连续的(Lipschitz常数是L).则对充分小的时间步长△t,有估计式对n = N-1,...,1,0成立,其中,C>0是一个依赖L和c0(定义在(3.5))的常数,C>0也是一个依赖c0,T及L的常数,截断误差、和,i=n,...,N.分别定义于(4.11)、(4.14)和(4.15),误差项和、和,k = 1,2,3,j = 1,2,的定义见§4.1中的(4.21).定理0.7.在一定条件假设下,对充分小的时间步长△t,有其中,α,β,γ定义见假设4.1,C>0仅依赖c0和L,C1>0依赖c0、T和L,且C2>0依赖c0,T,L K,X0和b,σ,c,f及φ的导数的上界.格式0.3的数值分析请详见§4.1.3.第五章,研究正倒向随机微分方程在求解Dirichlet初边值问题和分数阶Laplacian方程中的应用.第一部分:Dirichlet初边值问题考虑Dirichlet初边值问题:其中,T>0是一个确定的常数,x:=(x1,...xd)T是一个d-维列向量,符号▽表示梯度算子,k(x)是终端条件以及χ(t,x)表示Dirichlet边界条件,非线性算子L0的定义为定义在完备域流(Ω,F,F,P)上的正倒向随机微分方程:其中,停时τ:= inf{t>0,Xt(?)D}是Xt第一次逃出区域D(?)Rd的时刻,这里刀是一个开的光滑联通区域,并且初始时刻X0在区域D内,问题(0.18)的解u(t,x)与带停时的FBSDEs(0.19)的解,x有如下关系:公式(0.21)被称为 Feynman-Kac 公式[74].由 Feymnan-Kac 公式知,问题(0.18)的解与带停时的FBSDEs(0.19)的解,x满足基于关系式(0.22),提出如下求解带停时的FBSDEs(0.18)的Euler格式:格式0.4(隐式Euler格式).给定终端条件YN= φ和初始条件Xn= x;.对n = N-1,…,0和x ∈ D,数值解,x由(5.5)求得,通过以下方程组求解Yn和Zn:其中,关于格式0.4有下面的误差估计.定理 0.8.假设 .则对所有n = N—1,...,0,对充分小的时间步长△t,有不等式(0.24)其中,C'和C是两个不依赖△t的正的常数.对定理0.8中的两个概率P(τt·n,x≤tn+1)和p(τxn≤tn+1)有如下估计:定理0.9.对任意的常数ε>0,如果Xstn,x和Xsn,x的出发点x满足那么,对充分小的时间不长△t,有其中,C>0是一个不依赖△t的常数.格式0.4的数值分析结果请详见§5.1.4.第二部分:分数阶Laplacian方程的FBSDEs解法考虑分数阶Laplacian问题:其中,u0(x)是初始条件,驱动项g(t,x,u)是t,x和u的函数,分数阶Laplacian算子(-△)α/2定义如下:这里的常数Cd,α有定义分数阶Laplacian初值问题(0.26)对应的伴随方程是其中,L*是伴随算子方程(0.28)的解v,生成元f和条件函数ψ与(0.26)的u,p和u0有如下关系:根据解的关系式(0.30),我们转而求解(0.28)来求解分数阶Laplacian初值问题(0.26).方程(0.28)的解有下面的概率表示在(0.31)中,Xt是一个对称的α-稳定过程.基于(0.31),我们提出求解v(t,x)的半离散数值格式如下:格式0.5.假设终端条件uN(x)已知.通过下面的方程求解vn(x),n = N-1,...,1,0,根据傅里叶余弦展开,v(tn,x)的全离散逼近vn(x)的计算公式为上式中的傅里叶逼近系数每由下面的计算步骤得到.步骤0.1(计算逼近系数).第1步:当= N时,由离散傅里叶余弦变换(DCT)计算终端时刻系数第2步:当n = N-1,...,1,0,令K=β*Nc(参数β∈(0,1),计算格式0.5的数值分析结果请详见§5.2.3.第六章,给出了 G-布朗运动的数值模拟算法并实现了该算法的数值模拟.Peng[79]给出了下面G-布朗运动和G-正态分布的定义.定义0.10(G-布朗运动).一个定义在次线性期望空间上的n-维过程{Bt}t≥0被称为G布朗运动,如果满足下列性质:定义0.11.一个服从G-正态分布的随机变量X可以被表征为使得E[φ(X)]=u(1,0),这里u = u(t,x)是下面定义在[0,∞]×Rd上的非线性抛物型偏微分方程的唯一粘性解其中,记服从G-正态分布的随机变量X为X～N(0;[σ2,σ2]).1-维G-布朗运动的二次变差过程{Bt}t≥0定义为[82]:其中,在G-正态分布框架下,我们感兴趣下面的量:上式可以看作经典正态分布函数Fx(a)的一般化.基于定义0.10、定义0.11和(0.36),我们给出下面的模拟G-正态分布Fx(a)及其相应的密度函数ρ(a)、G-布朗运动以及G-布朗运动的二次变差的算法.算法0.1(Fx(a)和ρ(a)的模拟).算法0.2(G-布朗运动Bt的数值模拟).●产生N个[0,1]上服从均匀分布的随机数{vk}k=1,...,N;数值模拟结果及分析请详见§6.3。
许洁[3]2017年在《时滞重随机控制系统的随机最大值原理及其应用》文中研究表明本文主要研究当状态方程是包含时滞的重随机微分方程时的最优控制问题.首先利用鞅表示定理和压缩映像原理给出含有时滞的重随机微分方程解的存在唯一性条件.进而在控制域为凸的假设下,利用经典的变分法给出最优控制所满足的必要条件,得到时滞重随机控制系统的最大值原理,并将此结论应用到线性二次最优控制问题中,得到最优控制的显示表达式.此外,我们对线性正倒向重随机Hamilton系统进行研究,定义相应的矩阵Riccait方程,在适当的假设条件下,给出一类线性正倒向重随机微分方程解的存在唯一性条件.由于Riccati方程是求解线性二次最优控制问题的关键,本文利用倒向随机微分方程的理论讨论了一类倒向随机Riccati方程解的存在唯一性条件.
曹姗姗[4]2016年在《两类倒向随机微分方程解的研究及应用》文中提出1973年法国数学家Bismut在研究最优控制时引入一个线性的倒向随机微分方程(BSDE),并对此做了系统的研究[2].二十世纪九十年代初,我国数学家彭实戈和法国数学家Pardoux发表了《倒向随机微分方程的适应解的》[4]一文,首次引入非线性倒向随机微分方程理论.之后,BSDE逐渐成为一个非常活跃的领域,从而吸引了更多的学者对其进行进一步的研究.除了倒向随机微分方程的理论本身外,其重要的应用背景也是许多学者的研究领域.在这些文献的参考下,本文主要研究倒向随机微分方程解的相关性质及其在保险定价中的应用.第一章,主要介绍本文的选题背景及相关记号.第二章,主要讨论在非Lipschitz的条件下一类倒向随机微分方程解的存在唯一性、解的稳定性及比较定理.第叁章,主要讨论在非Lipschitz的条件下一类新型的倒向双重随机微分方程解的存在唯一性及比较定理.第四章,主要研究倒向随机微分方程在保险定价中的应用,文章首先给出保险的相关理论,再总结倒向随机微分方程在保险定价中的理论依据,从而建立原保险及再保险的数学模型,最后分别推导保险的定价公式.
冯新伟[5]2016年在《基于排序的正倒向随机微分方程与非线性期望》文中提出非线性倒向随机微分方程由Pardoux和Peng[74]于1990年引入,其具体形式如下,-dY(t)=f(t, Y(t),Z(t))dt-Z(t)·dW(t),Y(T)=ζ,其中W(t)是标准布朗运动,f是生成元函数,终端值ξ是FT-可测的随机变量。由于其在金融数学、随机最优控制、随机微分对策等领域中的广泛应用,倒向随机微分方程已经成为随机分析学中非常重要的领域。特别是,倒向随机微分方程给出了一类非线性偏微分方程概率意义下的解释,这是经典的Feynman-Kac公式的非线性推广。基于[74]这一开创性的工作,许多其他形式的倒向随机微分方程也得到了快速的发展。1997年,El Karoui,Kapoudjian,Pardoux, Peng和Quenez[32]研究了带一个反射边界的倒向随机微分方程。这类反射倒向随机微分方程中多了一个增过程。这个增过程K(t)的作用是保证方程的解Y(t)始终大于某一个给定的下界S(t),即,Y(t)≥S(t), a.s.,且在最小的意义下大于上界,即,∫tT[Y(s)-S(s)]dK(s)=0.同时,在[32]中,作者还证明了带一个反射边界条件的倒向随机微分方程与障碍问题的关系,这是非线性Feynman-Kac公式对应于反射倒向随机微分方程的形式。之后,Cvitanic和Karatzas[26]研究了带两个反射边界的倒向随机微分方程,即,除了方程的解Y(t)在终端时刻T等于终端值ξ之外,Y(t)还要在给定的两个边界之间。受随机策略理论(stochastic portfolio theory)中资本市场的资本分布曲线(capital distribution curve)的启发,基于排序的随机微分方程(rank-based stochastic differential equations)吸引了很多学者的关注。这类新的随机微分方程不同于以往的系数是Lipschitz连续的随机微分方程,它依赖于单个随机过程在整体中的排名,即系数是分段常数的。由基于排序的随机微分方程得到的排序的过程(ranked particle)是一类半鞅反射布朗运动,其具体方程可由Banner和Ghomrasni[3]中结论得到。受以上工作的启发,在本论文的第一章到第四章中我们将要研究与基于排序的随机微分方程耦合的倒向随机微分方程。特别地,在第一章中我们讨论了基于排序的倒向随机微分方程及其与带Neumann边界条件的偏微分方程的联系；在第二章中我们研究了基于排序的反射倒向随机微分方程及其与带Neumann边界条件的障碍问题的联系；在第叁章中,我们研究了欧式期权和美式期权定价。在第四章中,我们研究了状态方程为带不对称碰撞的布朗过程的随机微分对策问题。值得注意的是,与参考文献[25]中方程不同的是,前四章中出现的偏微分方程的定义域的边界不再是二次连续可微的,而仅仅是Lipschitz:连续的。在勒贝格测度的基础上,Kolmogorov于1933年在他的《概率论基础》一书中首次建立了测度论的公理体系。之后,因为其在其他领域的应用性和实用性,概率论成为了数学的一个重要的分支。经典的概率论是建立在线性概率或线性期望之上的。但是,用线性概率或者线性期望来解释现实中的很多不确定性时存在着不足,例如,Allias谬论和Ellsberg谬论。因此,受金融数学、统计学中不确定问题的启发,许多学者开始使用非线性概率来研究不确定性问题。1953年,Choquet提出了容度和Choquet期望的概念。在倒向随机微分方程的基础上,Peng于1997年提出了一类非常重要的非线性期望,g-期望。之后,Peng在2006年建立了非线性期望理论体系。在非线性期望体系中,一些极限定理先后得到了证明。例如,Peng[82]证明了弱大数定律和中心极限定理；Chen[14]证明了容度下的强大数定律,与经典的大数定律收敛于期望值不同的是,此时的极限落入由下期望和上期望组成的区间之内。在本论文的第五章和第六章中,我们将研究非线性期望下的极限定理。在第五章中,我们探讨了次线性期望下的偏差理论,证明了次线性期望下的大偏差上界和下界对负相关的随机变量序列仍然成立。此外,利用大偏差的结果,还证明了次线性期望下负相关随机变量序列的中偏差上界。在第六章中,我们讨论了容度下的遍历定理。本文一共分为六章。以下是本文的结构和每章的主要结论。(I)第一章主要讨论基于排序的正倒向随机微分方程。在1.1节中,我们讨论了如下的基于排序的随机微分方程我们首先得到了命名的过程和排序的过程满足下面的性质：定理1.3对所有的T>t≥0和p≥1,存在两个分别依赖于(p,T,{bj})和(p,n,{bj})的常数C1和C2,使得对任意的x,x'∈Γn和t,t’∈[0,T],有下面两个式子成立：和定理1.4对于任意的T>t≥0和p≥1,存在两个分别依赖于(p,T,{bj})和(p,T,{bj})的常数C1和C2,使得对任意的x,x'∈Γn和t,t’∈[0,T],有下面两个式子成立：和在1.2节中,我们研究了下述基于排序的正倒向随机微分方程在给出生成元的条件之后,我们得到了方程解的存在唯一性。我们在1.3节研究了下述偏微分方程的粘性解：上述偏微分方程是一类新的方程,其中,解在终端时刻满足Cauchy条件,在Lipschitz连续的边界上满足Neumann条件。我们得到了以下两个结论：定理1.8假设(H1.1)和(H1.2)成立,那么由(1.2.12)定义的函数u(t,x)是方程(1.3.1)的粘性解。定理1.9假设(H1.1)、(H1.2)和(H1.3)成立,那么方程(1.3.1)至多存在一个粘性解满足下列条件：对某一A>0,在[0,T]上一致。在1.4节中,我们研究了与不对称碰撞的布朗过程耦合的倒向随机微分方程。首先,我们证明了不对称碰撞的布朗过程的下述性质：定理1.10对所有的T>t≥0和p≥1,存在一个依赖于(L,p,T,n,{bi),{σi})的常数C,使得对所有的x,x'∈Γn和t,t’∈[0,T],都有以下两个式子成立：和接着,我们讨论了与不对称碰撞的布朗过程耦合的倒向随机微分方程及其与偏微分方程的联系,主要结论如下：定理1.12假设偏微分方程(1.4.13)存在属于C1,2([0,T]×Γn；R)的解且存在常数c,p>0使得下式成立那么,偏微分方程的解是唯一的且式子(1.4.12)成立。定理1.13假设(H1.4)、(H1.5)和(H1.6)成立,那么由(1.4.12)定义的函数u(t,x)是偏微分方程(1.4.13)的满足条件(1.3.2)的唯一的粘性解。(Ⅱ)第二章我们讨论了基于排序的反射倒向随机微分方程。在2.1节中,我们证明了当波动系数不是常数时基于排序的随机微分方程解的下述性质：定理2.1假设序列(0,σ12,…,σn2,0)是凹的,则方程(2.1.1)存在唯一的强解。进一步,对任意的T>t≥0和p≥1,存在一个依赖于p,T,{δi},[σj})的常数C,使得对所和定理2.2对任意的T>t≥0和p≥1,存在一个依赖于p,T,n,{δj),{σj))的常数C,使得对所有的x,x'∈Γn和t,t'∈[0,T],我们有下面的式子成立：和在2.2节中,我们引入了基于排序的反射倒向随机微分方程并得到了解的存在唯一性：定理2.4假设(H1.1)、(H1.2)和(H2.1)成立,存在唯一的循序可测的过程组成的叁元组(Yt,x,Zt,x,Kt,x)使得下列条件成立：(i)(Yt,x,Zt,x,Kt,x)满足(2.2.1);(ii)E ∫(|Yt,x(s)|2+|zt,x(s)|2)ds<∞ (iii)Yt,x(s)≥h(s,Xt,x(s)),t≤s≤T;(iv){Kt,x(s)}是连续的增过程且有在2.3节中,我们得到了障碍问题的粘性解的存在唯一性：定理2.7假设(H1.1)、(H1.2)和(H2.1)成立,由(2.2.5)定义的函数u(t,x)是障碍问题(2.3.1)的粘性解。定理2.8假设(H1.1)、(H1.2)和(H1.3)和(H2.1)成立,那么,(2.3.1)至多存在一个满足条件(1.3.2)的粘性解。在2.4节中,我们讨论了带不对称碰撞的布朗过程的反射倒向随机微分方程,并得到了类似于定理2.7和定理2.8的结果(详见定理2.10)。(Ⅲ)第叁章我们讨论了期权定价。在3.1节中,我们研究了欧式期权定价的问题,得到了如下的结论：当债券和股票的价格P0t,p(s),{Pit,p(s)}i=1 n满足以下的随机微分方程时,未定权益ζ=g(P0t,p(T),Pt,p(T))在时刻s的价值为此时,u(t,p)是下述偏微分方程的唯一的粘性解：其中,在3.2节中,我们比较了两个市场中的期权定价问题。在有一个债券和N+1个价格满足基于排序的随机微分方程的股票的金融市场中,如果在零时刻第N+1个股票的价格充分小,且在欧式期权定价的时候我们只考虑剩下的N个股票,那么与市场中只有这N个股票是几乎相等的,也即第N+1个股票的的影响很小。在3.3节中,我们研究了美式期权定价问题,主要结论如下：美式期权存在最小的平方可积的上对冲策略且Yt,p(s)是它的价格过程。其中,(Yt,p,π)是下述反射倒向随机微分方程的唯一的解：(Ⅲ)第四章我们讨论了随机微分对策问题。在4.1中,我们简单介绍了推广的倒向随机微分方程,并且得到了解的比较定理。在4.2节中,我们引入了随机微分对策问题,且得到了如下动态规划原理：定理4.5假设(H4.3)、(H4.4)、(H4.5)和(H4.6)成立,下值函数W(t,x)足下面的动态规划原理：对任意的0≤t≤t+δ和x∈Γn,在4.3节中,我们讨论了Isaacs方程的粘性解。(Ⅳ)第五章在Peng提出的次线性期望的框架下,我们研究了负相关随机变量序列的偏差理论。在5.1节中,我们介绍了非线性期望的预备知识。随后我们给出了次线性期望下随机变量负相关的定义并探讨了负相关随机变量序列的基本性质。在5.2节中,得到了次线性期望下负相关随机变量序列的大偏差结论：定理5.1对于任意的δ>0和i≥1,{Xi}i=1∞为E[.]下满足E[eδ|Xi]<+∞的负相关随机变量列,令Sn=1/n∑i=1n,假设(H5.1)成立,(1)对于纸有的闭集F，有(2)对于所有的开集G,有在5.3节中,利用5.2节中得到的大偏差结果,得到了次线性期望下负相关随机变量序列的中偏差上界：定理5.2令,{Xi}i=1∞是E[.]下的负相关随机变量列且满足E[X1]=E[-X1]=0和E[|Xi|2+δ]<+∞,E[et|Xi|]<+∞,其中,δ∈(0,1),i≥1,t∈R。假设此外,如果对于所有的t∈R和n≥1,那么,对所有的闭集F(?)R,有其中,(V)第六章在Choquet提出的容度的框架下,我们研究了遍历定理。在6.1节中,我们给出了容度的基础知识并给出了容度下保持测度的变换的定义。在6.2节中,我们给出了凸连续容度下的遍历定理：定理6.1令v∈C(Ω)且满足v(A)≤1一v(Ac)≤φ(v(A)),其中,φ∈西。如果T是Ω上的一个保持测度的变换,x是一个随机变量且E[|X|]<+∞,令那么(1)如果X≥0,则有(2)如果X≤0,则有(3)对于任意的X,则有
李菁[6]2016年在《倒向随机微分方程理论及其在金融和行为金融中的应用》文中认为随着金融市场的不断发展,对金融知识理论的讨论日益深入.本文主要讨论了倒向随机微分方程(BSDE)的相关重要理论以及在金融学和行为金融学中的应用.与传统金融学通过以往的经验推测未来的发展趋势的思路相比,倒向随机微分方程恰是从结果出发的一个过程,这种思路更符合现实金融生活中的规律.因此本文先从倒向随机微分方程入手,简要综述了彭实戈教授,法国数学家Pardoux和M.C.Quenez关于倒向随机微分方程的基本定理、重要性质以及倒向随机微分方程在金融中的应用的相关论述,通过理论知识与实际例子相结合的方式得出简单结论.在此基础上,本文还加入了行为金融学的相关因素.中国的金融市场还处于发展起步的阶段,与发达的金融市场相比,具有散户投资者占比较高、机构投资者较少,非理性因素较多等特点,由此引入行为心理学,即对心理学和金融学进行综合研究分析,对投资者心理因素进行研究,找到投资者行为趋势是恰当的,也是更符合中国国情的.本文从以下叁个部分进行讨论.第一部分:介绍随机微分方程与倒向随机微分方程的预备知识和基本定理,并介绍一些相关的重要结果,例如倒向随机微分方程解的存在性和唯一性,比较定理等;第二部分:先简单介绍欧式期权定价及Black-Scholes公式,然后给出一些倒向随机微分方程在定价问题中的例子,这些方程在古典情况下是线性的且在投资组合有约束条件的情况下是非线性的.第叁部分:介绍行为金融学基本观点以及一些金融学模型,引入行为金融学观点,对已有方程进行部分更改,得出新的结论.具体的,在离散情况下,将心理函数引入二叉树法,通过对传统期权定价的叙述,并应用传统二叉树法的讨论方法来讨论带有心理函数的期权定价;在连续情况下,通过考虑心理函数的?Ito过程,参考Black-Scholes定价公式的推导过程,得出了类似的公式,在现实中可通过代入数据得出结果;最后得出了带有在倒向随机微分方程中,加入新的心理函数,将股价影响的情况下投资者的心理变化考虑在方程中,然后对新的方程进行分析,得出了新的结论.
许振宇[7]2012年在《Girsanov变换在倒向随机微分方程和亚式期权定价中的应用》文中研究指明Girsanov定理是随机分析中的一个基本原理,叙述了这样一个问题,当初始概率测度变换为等价的概率测度时,在原概率空间中的随机过程在新的概率空间中的表示形式将如何变化.特别是,通过适当的参数选择,应用Gir-sanov变换,我们可以将原概率空间一个Ito过程,变为新的概率空间中的布朗运动Girsanov定理在很多领域内具有广泛的应用,在金融数学理论领域中起到了非常重要的作用,如可用于解决期权等金融衍生产品的定价问题.期权作为最基本的金融衍生产品之一,在金融市场中具有重要的地位,对于其定价问题人们进行了深入和广泛的研究.期权的定价模型依赖于标的资产价格的演化模型.在连续时间情形,标的资产的价格可以用随机微分方程来刻画,而期权持有者的资产过程可以通过一个倒向随机微分方程来描述,因此期权的价格可以通过倒向随机微分方程来求解.因此我们可以利用倒向随机微分方程的理论和方法,推导出期权定价公式.但是对于很多倒向随机微分方程来说,求得其显式解是比较困难的,只能利用数值方法进行求解.在本文中,我们主要研究一类带有特殊终端条件的倒向随机微分方程的求解问题,采用数值计算的方法进行求解.对于我们所研究的一维的倒向随机微分方程,如下所示我们首先给出求解标准倒向随机微分方程的数值方法,即终端条件形如yT=ξ=Φ((Bt)0≤t≤T)的情形,其中{(Bt)0≤t≤T}是一个1-维标准布朗运动.我们将通过随机游走来逼近倒向随机微分方程中的布朗运动,从而得到离散化的倒向方程.同时将终端条件做相应的离散化.然后从离散终端条件出发,从后向前迭代,依次计算变量在各离散时间的可能取值,最终到达初始时刻t=0,求得离散倒向方程的解.可以证明,当满足一定条件时,离散倒向方程的解收敛于原倒向随机微分方程的解.因此我们可以用它作为倒向随机微分方程的数值解.在本文中,我们主要研究倒向随机微分方程的终端条件形如yT=ξ=Φ((xt)0≤t≤T)的情况.其中xt是一个扩散过程,即随机微分方程的解.对于xt无显式解的情况,我们无法直接应用上述数值方法解方程.在此我们提供了更为实用而高效的方法,可通过Girsanov变换把此过程变换为另一个新的概率测度下的标准布朗运动,同时得到在新的概率空间下的倒向随机微分方程,新空间的方程具有简化了的终端条件,从而可以应用之前的标准倒向方程的数值计算方法.我们具体分析了叁种特别形式的终端条件,给出了适用的Girsanov变换方法,变换后的离散倒向方程和离散终端条件,显式算法和隐式算法的迭代公式,以及收敛性证明.其后我们给出了方程求解的具体算法及一些实例,具体来讲,我们将Girsanov变换和数值方法应用于欧式期权定价的倒向随机微分方程模型.亚式期权是一种路径依赖的期权合约,在期权到期日的收益依赖于整个期权有效期内标的资产的价格平均值.如用倒向随机微分方程来描述亚式期权定价模型,则此类方程也具有特殊终端条件.我们对欧式的具有固定敲定价格的算术平均亚式期权的定价进行了讨论.如同之前介绍的方法,我们首先对倒向随机微分方程模型进行Girsanov变换,从而简化了模型,然后给出离散倒向方程的显式算法和隐式算法的迭代公式,最后对其求解的情况进行了讨论.最后我们对本文所研究的问题进行了总结,阐明了解决上述问题的意义,并对有待解决的问题进行了展望.
包峰[8]2009年在《正倒向随机微分方程的数值解及其在金融中的应用》文中研究表明随着现代社会的发展,金融产品已经成为人们生活中不可或缺的组成部分,用于分析金融市场交易的各种数理模型也层出不穷.正倒向随机微分方程是上世纪九十年代以后发展起来的一类重要的随机微分方程。随着倒向随机微分方程在数理金融中的地位越来越显着,正倒向随机微分方程也逐渐显示出它在处理金融问题中所起到的作用。本文主要讨论正倒向随机微分方程的数值解法及其在金融中的应用.在本文的前言部分,主要介绍了金融市场以及金融衍生产品的发展历程和数理金融的诞生过程.并说明了倒向随机微分方程在数理金融发展历程中的地位和作用。第二章主要介绍了倒向随机微分方程及正倒向随机微分方程的理论及其与偏微分方程的联系。第叁章引入一系列数理金融模型,并阐述了倒向随机微分方程在对金融交易策略的计算和分析中所起到的作用.在正倒向随机微分方程与金融的联系方面,文章主要介绍正倒向随机微分方程与大投资者的投资交易策略的关系。第四章讨论正倒向随机微分方程的具体解法.本文采用与倒向随机微分方程的θ格式相类似的方法,对正倒向随机微分方程进行时间-空间剖分,并从终端时刻开始求解方程.在处理正倒向随机微分方程的时候,需要对非线性方程组求解。为了简化需要求解的方程组,减少计算量,本文将使用N叉树的方法对布朗运动进行模拟,进而得到求解正倒向随机微分方程过程中需要估计的条件数学期望的数值模拟方法.在最后一章会提供使用本文中介绍的算法对一些正倒向随机微分方程进行计算的算例和数据.在算例中首先将θ格式中的θ取值为0.5,并分别采用二叉树,叁叉树和四叉树方法对例子进行求解。作为进一步比较,本文还令θ=1.0,进行一次对比计算.最后,将进行误差分析以及收敛阶的比较。
蔺香运[9]2003年在《倒向随机微分方程及其离散解》文中指出本文首先讨论了一类基于无穷区间的倒向随机微分方程解及其在不确定市场环境下不确定厌恶度量中的应用。其次，讨论了一类离散型倒向随机微分方程的收敛性问题及其解的描述。最后，讨论了近似误差在反射型倒向随机微分方程离散解的计算过程中的传播稳定性。
王法磊[10]2014年在《非线性Feynman-Kac公式及其应用》文中指出1990年Pardoux-Peng[94]首次引入了如下形式的倒向随机微分方程：其中B是标准维纳空间(Ω,F,P)上的d-维布朗运动。与正向随机微分方程不同,倒向随机微分方程(0.0.1)的解为一对适应过程(Y,Z)。[94]建立了倒向随机微分方程在标准Lipschitz条件下的解的存在唯一性定理。这一结果推广了Bisrmut[6]中的线性结果。基于这一开创性工作,倒向随机微分方程理论在各个领域迅速发展,譬如,偏微分方程,数理金融,随机控制与微分博弈,泛函分析,数值分析等。在过去的20多年中涌现出大量的工作研究解的存在唯一性理论来进一步推广[94]中的结果,例如,Pardoux-Peng[96],Lepeltier-San Martin[76],Jia[69],Kobylanski [72],El Karoui-Kapoudjian-Pardoux-Peng-Quenez[42],Situ[132],Barles-Buckdahn-Pardoux[3],Tang-Li[141],Antonelli[1],Ma-Protter-Yong[84],Hu-Peng[64],Peng-Wu [122],Pardoux-Tang[91],Delarue[33],Peng-Shi[120],Hamadene[50],Peng-Xu[124], Buckdahn-Djehiche-Li-Peng[9]等。从而倒向随机微分方程理论成为了随机分析领域中的一独特分支。特别地,Peng[106]引入了g-期望理论。这一理论是非线性随机分析理论研究的有力工具(更详尽的结果请参阅Peng[107,108,109,110],Chen-Tao-Matt[17], Coquet-Hu-Memin-Peng[19],Delbaen-Peng-Rosazza Gianin[28],Hu-Ma-Peng-Yao[62]等)。基于这一观点,在马尔科夫情形下g-鞅是一半线性偏微分方程的唯一解,这就是着名的非线性Feynman-Kac公式。更精确的说,如果ξ=φ(B(T))以及f=f(t,B(t),y,z),那么倒向随机微分方程(0.0.1)的解满足Y(t)=u(t,B(t))与Z(t)=▽u(t,B(t)),其中u为如下半线性偏微分方程的解：这一研究给一大类半线性偏微分方程提供了概率解释(见Peng[100.104],Pardoux-Peng [95,97],Pardoux[92,93],Barles-Buckdahn-Pardoux[3],Buckdahn-Peng[14],Buckdahn-Hu-Peng[11],Fuhrman-Tessitore[45],Royer[130],Crisan-Delarue[24],Wu-Yu[143], Pham[126]等)。这一非线性Feynman-Kac公式同样给出了半线性偏微分方程的一新的数值解法(见Douglas-Ma-Protter[34],Zhang[149],Bouchard-Touzi[7],Peng-Xu[123], Gobet-Lemor-Warin[49],Zhao-Chen-Peng[150]等)。并且倒向随机微分方程理论逐渐成为了一研究数理金融问题的基本工具(见El Karoui-Peng-Quenez[40],Chen-Epstein[16], Delbaen-Peng-Rosazza Gianin[28],Duffie-Epstein[35].El Karoui-Quenez[41],Cvitanic-Karatzas[25],Jiang[70],Hu-Imkeller-Muller[60]等)。倒向随机微分方程理论也给出一研究效用最大化与微分博弈问题的新思路(见Peng[105],Pham[125],Buckdahn-Li[12]以及相关文献)。g-期望理论是一研究概率模型不确定问题的有力工具,其中不确定性包含的概率测度族关于维纳测度P是绝对连续的(见Chen-Epstein[16]).但是金融中的波动率不确定性模型包含不可数个概率测度,且这些概率测度互相奇异。基于这一问题Peng引入了一种时间相容的全非线性数学期望理论(请参阅[111])。作为一重要情形,Peng[112]通过如下的全非线性偏微分方程提出了G-期望理论(可参阅[113,114,116])：(?)tu-G(Dxx2u)=0,(t,x)∈(0,T)×Rd,其中G:S(d)→R为一给定的有界次线性单调函数,S(d)为所有的d×d对称矩阵组成的集合。特别地,经典的线性期望可以看做G-期望的一个特例。在G-期望框架下Peng通过容度分析理论构造了相应的G-布朗运动,并且建立了关于G-布朗运动的随机积分(见Peng[116],Denis-Hu-Peng[29],Hu-Peng[56.57], Denis-Martini[30],Li-Peng[77],Soner-Touzi-Zhang[135],Song[136,137,138,139]等)。在这一基础上,Gao[46]以及Peng[116]建立了标准Lipschitz条件下的G-随机微分方程解的存在唯一性。特别地,Hu-Ji-Peng-Song[51]得到了G-布朗运动驱动的倒向随机微分方程的存在唯一性结果。最重要的一点是,通过Peng[116]以及Hu-Ji-Pen-Song[51]在马尔科夫情形下的研究结果,G-SDE以及G-BSDE对应着一大类全非线性偏微分方程。同样也是基于这一问题,Cheritdito-Soner-Touzi-Victoir[18]与Soner-Touzi-Zhang[134]建立了二阶倒向随机微分方程理论。关于非线性随机分析理论的进一步发展请参阅Chen [15],Epstein-Ji[43],Hu-Ji[53],Hu-Ji-Yang[54],Bai-Lin[2],Lin[78,79],Lin[80]. Gao-Hui[47],Gao[48],Dolinsky-Nutz-Soner[31],Dolinsky[32],Nutz[89],Nutz-Van Handel[90],Xu-Zhang[144],Zhang-Xu-Kannan[148],等。通过上面的结果我们知道在马尔科夫情形下具有确定时刻终端的倒向随机微分方程给半线性抛物偏微分方程提供了概率解释,而具有随机时刻终端的倒向随机微分方程给半线性椭圆偏微分方程提供了概率解释。因此偏微分方程可以看成是状态依赖情形的倒向随机微分方程,Peng这一深刻的思想给了许多问题新的思路。我们知道倒向随机微分方程的终端ξ一般是一个布朗运动轨道的函数。在这种情形下,(Y,z)被认为是倒向随机微分方程(0.0.1)的轨道依赖解,此时倒向随机微分方程的解可否认为是一轨道依赖偏微分方程的解?这一问题首先被Peng在其2010年数学家大会的报告上提出(请参阅[117,1.3])。本论文的第1章与第2章将重点研究这一问题并且给出了非马尔科大情形下的非线性Feynman-Kac公式。其中我们用到的主要工具是Dupire[36]所建立的泛函Ito公式(更进一步的发展请参阅Cont-Fournie[20,21,22])。在不同的框架下,Peng-Song[120]建立了轨道偏微分方程的Sobolev-解。为了进一步研究全非线性Feynman-Kac公式,我们首先在第3章系统地研究了G-布朗运动驱动的随机微分方程解的性质。在经典随机分析框架下,Doss[33], Sussmann[140]与Huang-Xu-Hu[66](Huang[65]以及Pardoux-Talay[98])研究了随机微分方程的样本解,这一方法可以将随机微分方程按照每一条轨道分解成常微分方程。我们将要证明G-期望框架下的Doss变换仍然成立。我们进一步研究了G-随机微分方程解的可测性质以及Krylov估计,这一结果对G-随机分析理论的进一步发展非常有用。接着第4章研究了非马尔科夫情形下的全非线性Feynman-Kac公式。在第5章中,我们将要研究G-遍历倒向随机微分方程与全非线性遍历偏微分方程之间的关系。经典情形下,Fuhrman-Hu-Tessitore[44](同样见Debussche-Hu-Tessitore[26],Richou[129])给出了遍历倒向随机微分方程的概念。遍历倒向随机微分方程理论提供了一研究遍历最优控制的有效方法。此外,应用这一理论,Hu-Madec-Richou[63]研究了半线性偏微分方程解的渐进行为。同样,Pham在第7届“倒向随机微分方程国际研讨会”上做了题为“全非线性Bellman方程解的渐进行为”的报告。接下来我们将列出本论文的主要结果。1.倒向随机微分方程,轨道偏微分方程以及非线性Feynman-Kac公式与Dupire[36]一样,我们引入空间(Ad,d∞)其中Λd=Ut∈[0,T]Λtd,Λtd为所有[0,t]上的Rd-值右连左极函数组成的集合,以及每一0≤t≤t≤T,ωt,ωt∈Λd,本章中将一直用到如下空间。定义0.1.称u在集合Cl,lip1,2(Λd)中,如果函数u的Dupire路径导数Dtu,Dxu,Dxxu存在且满足对φ=u,Dtu,Dxu,Dxxu有|φ(ωt)-φ(ωt)|≤c(1+||ωt||k+||ωt||k)d∞(ωt,ωt),(?)ωt,ωt∈Λd成立,其中C以及k为只与u有关的常数。我们首先概述下主要的想法。由于倒向随机微分方程(0.0.1)的解Y是一循序可测过程,因此存在一Ω上的函数u使得Yt(ω)=u(ωt)。假设u∈Cl,lip1,2(Λd)以及d=1。应用泛函Ito公式,我们可以得到du(Bt)=[Dtu(Bt)+1/2Dxxu(Bt)]dt+Dxu(Bt)dB(t).因此我们有(Yt,Zt)=(u(Bt),Dxu(Bt))以及Dtu(Bt)+1/2Dxxu(Bt)+f(Bt,u(Bt),Dxu(Bt))=0,(0.0.3)其中这里的导数为Dupire导数。在这一方程中,区间[0,t]上的轨道ωt将作为研究的基本变量,这类似于经典框架下的变量(t,x)∈[0,T]×Rd。因此非马氏的倒向随机微分方程(0.0.1)给半线性轨道偏微分方程(0.0.3)提供了一概率解释。但是这里假设了u∈Cl,lip1,2(Λd),因此我们需要证明这一论断。本章后面的内容就是基于这一论断。对每一ωt∈Ad,考虑如下的倒向随机微分方程：其中Bωt(u):=ω(u)1[0,t](u)+(ω(t)+B(u)-B(t))1(t,T](u)。应用Pardoux-Peng[95]中同样的证明方法,可以证明Yωtx(s)关于x具有连续的二阶导数。定理0.1.假设(H1.1)以及(H1.2)成立,则对每一ωt∈Λd,{Yωtx(s),s∈[0,T],x∈Rd}存在一a.e.C0,2([0,T]×Rd)版本。定义函数u(ωt):=Yωt(t)其中ωt∈Ad。推论0.1.假设(H1.1)与(H1.2)成立,则Dupire垂直导数Dxu(ωt)与Dxxu(ωt)存在.且u∈Cl,lip0,2(Λd)。在Pardoux-Peng[95]中,当倒向随机微分方程的生成元是状态依赖时,在适当的假设下可以证明Z与Y满足下面的关系式：Zωt(s)=(?)xu(s,ω(t)+B(s)-B(t)).在非马氏情形下,我们有如下的公式刻画Z与Y之间的关系。定理0.2.在假设条件(H1.1)以及(H1.2)下,对每一固定的ωt∈Ad,随机过程(Zωt(s))s∈[t,T]存在一连续版本,Dxu(Bsωt)=Zωt(s),对每一s∈[t,T]a.s.现在将倒向随机微分方程和如下形式的多维轨道偏微分方程联系起来：其中u:=(u1,...,um):Λd→Rm为Λd上的函数。应用泛函Ito公式,可以证明轨道偏微分方程(0.0.5)的解的唯一性。定理0.3.假设(H1.1)以及(H1.2)成立。如果函数u∈Cl,lip1,2(Λd)为轨道偏微分方程(1.3.1)的解,则对每一ωt∈Λd,u(ωt)=Yωt(t),其中(Yωt(s),Zωt(s))t≤s≤T为倒向随机微分方程(0.0.4)的唯一解。因此,轨道偏微分方程(0.0.5)至多存在一个Cl,lip1,2-解。应用这一定理以及倒向随机微分方程的比较定理(引理1.3),可以得到轨道偏微分方程的比较定理成立。推论0.2.假设m=1以及f=fi,Φ=Φi,i=1,2满足定理0.3中的条件。并且.(ⅰ).f1(ωt,y,z)≤f2(ωt,y,z),其中(ωt,y,z)∈Λd×R×Rd.(ⅱ)Φ1(ωT)≤Φ2(ωT),其中ωT∈ATd。若ui∈Cl,lip1,2(Λd)为轨道偏微分方程(0.0.5)相应于(f,Φ)=(fi,Φi),i=1,2的解,则我们有对每一ωt∈Λd,u1(ωt)≤u2(ωt)。在本章的最后,我们通过随机计算的方法证明了轨道偏微分方程(0.0.5)解的存在性。定理0.4.假设(H1.1)-(H1.2)成立,那么函数u是轨道偏微分方程(0.0.5)唯一的Cl,lip1,2(Λd)-解。2.带跳的倒向随机微分方程与轨道抛物积分-微分方程受第1章的结果启发,本章将研究带跳的倒向随机微分方程与轨道抛物积分-微分方程之间的关系。在第一章中,泛函Ito公式在证明过程中起了关键作用。但是一般的函数u∈Cl,lip1,2(Λd)并不满足Cont-Fournie[20]给出的半鞅泛函Ito公式中的条件,因此我们将首先去掉一些额外的假设条件给出更一般半鞅泛函Ito公式,但是我们只处理了可数跳的情形。定理0.5.假设(Ω,F，(F)t∈[0,T],P)是一概率空间。半鞅X=M+A,其中M为一连续局部鞅,A为一有限变差过程。如果函数u在空间Cl,lip1,2(Λd)中,则对每一f∈[0,T),然后考虑如下非耦合的带跳的正倒向随机微分方程,对每一ωt∈Λd我们定义函数u(ωt):=Yωt(t)。经过一些计算,可以得到函数u具有如下性质。定理0.6.在假设条件(H2.1)以及(H2.2)下,对每一ωt∈Λd,{Yωtx(s),s∈[0,T],x∈Rd}存在一C0,2([0,T]×Rd)a.e.版本。特别地,Dxu(ωt),Dxxu(ωt)存在且u∈Cl,lip0,2(Λd)。在这一章中,非马尔科夫带跳的倒向随机微分方程的解Z,K与Y存在如下形式的关系。与第一章不同,由于跳的存在,这一问题的证明更加复杂。定理0.7.在假设条件(H2.1)以及(H2.2)下,对每一固定的ωt∈Ad,随机过程(Zωt,Kωt)存在一a.8.左连续版本：在上一章中我们建立了倒向随机微分方程与拟线性轨道偏微分方程方程的一一对应关系。现在我们将带跳的倒向随机微分方程和如下形式的轨道抛物积分-微分方程联系起来：(0.0.8)其中u=(u1,…,un):Ad→Rn为Λd上的函数,Cul(ωt):=Dxul(ωt)b(ω(t))+1/2tr[(σσT)(ω(t))Dxxul(ωt)]最后给出这一章的主要结果,它给出了带跳的倒向随机微分方程与轨道抛物积分-微分方程之间的一一对应关系。定理0.8.假设(H2.1)-(H2.2)成立,则函数u是轨道积分-微分方程(0.0.8)唯一的Cl,lip1,2(Λd)-解。3.G-布朗运动驱动的随机微分方程在3.2节中,我们将首先利用在Lbp(Ω)空间中推广的G-Ito公式研究G-随机微分方程与常微分方程之间的关系。我们通过一族带有参数的常微分方程来研究G-随机微分方程的解,将G-随机微分方程的解表示成了一G-布朗运动与一有限变差过程的函数。考虑如下区间[0,T]上的G-随机微分方程,其中σ(t,x,y)∈Cb,lip1([0,T]×R2)以及b(t,x,y),h(t,x,y)∈Cb,lip([0,T]×R2)下面的常微分方程存在唯一解y=φ(t,x,v)∈C1,2,1([0,T]×R×R)。记g(t,T,v)=(?)vφ-1(t,x,v)(b(t,x,φ(t,x,v))-(?)tφ(t,x,v)),则可以推断出：以及然后考虑带有参数ω的常微分方程：应用G-Ito公式以及G-随机微分方程(0.0.9)的存在唯一性结果,可以得到X(t)=φ(t,B(t),V(t))为G-随机微分方程(0.0.9)的唯一解。利用上这一结果可以得到G-随机微分方程的比较定理。并且我们得到了比较定理成立的充分必要条件。定理0.9.考虑如下形式的G-布朗运动驱动的随机微分方程其中σi,bi,hi∈Cb,lip(R)以及i∈{1,2}。那么对每一x1≤x2,X1,x1(5)≤X2,x2(5)成立当且仅当b1(x)-b2(x)+2G(h1(x)-h2(x))≤0,σ1(x)=σ2(x),(?)x∈R.在3.3节中,我们将要讨论G-随机微分方程的数值方法,其中包括逐轨道逼近以及均方逼近,并且给出各数值方法相应的收敛速度。在3.4节中我们研究了G-扩散过程的可测性质以及Krylov估计。最后在3.5节中,我们证明了一类全非线性偏微分方程的解是一G-随机微分方程解的期望。它将Peng[116]中的非线性Feynman-Kac公式推广至了更一般的情形。与[4]相比,本节的主要困难在于G-期望框架下并不存在停时定理,为了克服这一困难我们给出了一G-鞅更加严格的定义。4.全非线性轨道偏微分方程的比较定理以及G-期望理论为了研究全非线性轨道偏微分方程的比较定理,我们将本章分为了两部分。在4.1中,我们首先建立了在LGp(Ω)空间中的关于G-Ito随机过程的泛函Ito公式。它将Peng建立的G-Ito公式推广至了泛函情形。通过它我们给出了泛函情形下的全非线性Feynman-Kac公式,这一公式建立了G-随机微分方程与全非线性轨道偏微分方程之间的对应关系。定理0.10.设u∈Hγ(Ωn),其中γ∈(0,1),αv,βvij,σvj为空间MG2(0,T)中的有界随机过程,这里v=1,…,n以及i,j=1,…,d,则对每一l∈[0,T],在空间LG2(Ωt)有,在本节的最后,应用G-布朗运动的泛函Ito公式(定理0.10),可得如下形式的比较定理。推论0.3.设uv∈Hγ(Ωn)(v=1,2)是非线性轨道偏微分方程(4.1.11)的解,其中γ∈(0,1),对每一(ωt,r,p,Q)∈Qn×R×Rn×S(n), Gv(ωt,r,p,Q)=<p,α(ωt)>+Gv((<Qσi(ωt),σj(ωt))+<p,βi,j(ωt)+βj,i(ωt>)i,j).如果对所有ωT∈ΩTn有u1(ωT)≤u2(ωT)以及G1(ωt,r,p,Q)≤G2(ωt,r,p,Q),则对每-ωt∈Ωn,u1(ωt)≤u2(ωt)。在4.2节中,我们将用经典偏微分方程的分析方法而不是随机计算的方法建立轨道偏微分方程的部分比较定理,这一方法有助于深入地研究轨道偏微分方程。定理0.11.设u1是轨道偏微分方程(4.2.1)的一粘性下解,其中对应的G=G1,u2是轨道偏微分方程(4.2.1)的一粘性上解,其对应的G=G2,且对每一(ωt,r,p,X)∈Λd×R×Rd×S(d),G1(ωt,r,p,X)≤G2(ωt,r,p,X)。如果函数u1与u2分别为上有界和下有界且其中一个为C1,2(Λd)函数,则最大值原理成立：若对所有ωT∈ΛTd有u1(ωT)≤u2(ωT),则对每一ωt∈Λd,不等式u1(ωt)≤u2(ωt)成立。5.G-布朗运动驱动的遍历倒向随机微分方程及其应用本章的目标是研究如下形式的G-布朗运动驱动的遍历倒向随机微分方程：对所有的0<s<T<∞,其中(B(t))t≥0为一G-布朗运动,Xx为一初始值为x的G-随机微分方程的解。首先我们引入了一新的线性化方法证明了无穷区间上的G-倒向随机微分方程(0.0.15)的解的存在唯一性理论,其中定理0.12.假设(H5.1)-(H5.4)成立,则无穷区间上的G-倒向随机微分方程(0.0.15)存在一个解(Y,Z,K)∈(?)G2(0,∞)满足Y是有界过程。特别地,这一解在所有Y是有界的过程中是唯一的。接着我们得到了全非线性椭圆型偏微分方程的Feynman-Kac公式并且给出了新的方法证明Rn上的椭圆型偏微分方程粘性解的唯一性。定理0.13.函数u(x)为全非线性椭圆偏微分方程G(H(Dx2u,Dxu,u.x))+<b(x),Dxu)+f(x,u.<σ1(x),Dxu>,...,(σd(x):Dxu))=0唯一的有界粘性解。然后我们利用这一理论我们建立了G-布朗运动驱动的遍历倒向随机微分方程(0.0.14)解的存在性理论。定理0.14.假设(B5.1),(B5.2),(B5.4)以及(B5.5)成立。则对每一x,G-遍历倒向随机微分方程(0.0.14)存在解(Yx,Zx,Kx,λ)∈(?)G2(0,∞)×R且|Yx(s)|≤M|Xx(s)|。在本章最后我们讨论了这一方法的实际应用。对任意的Lipschitz函数φ：Rn→R,考虑如下形式的全非线性抛物型偏微分方程：定理0.15.在假设条件(B5.1),(B5.2),(B5.4)与(B5.5)下,存在常数C使得对每一T>0,?
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