例说立几中的观察实验解题，本文主要内容关键词为：例说立几中论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
数学中的观察同理化实验的观察一样，是同学们主动参与的一种学习活动，对每一个数学问题，尤其是空间图形和实际应用问题，动手操作，亲眼观察，会形成深刻的印象，得到真实的信息，获取准确的数据.有时通过观察，不仅能验证结论的正确，还会引发奇妙而丰富的想象.
下面以观察的方法为主，解答一组正方体试题，同学们能看到解题中观察所起的重要作用.
一、射影问题
例1 （2000年全国高考题）如图1，E、F分别为正方体的面ADD[，1]A[，1]，面BCC[，1]B[，1]的中心，则四边形BFD[，1]E在该正方体的面上的射影可能是__________.
分析：观察易知四边形BFD[，1]E在上、下底面及前后侧面上的射影均是图（2）中的平行四边形.在左、右侧面上射影是图（3）中的线段.
练习1 在太阳光下，放在水平地面上的正方体在地面上留下的影子是几边形（包括底面）？
二、线面问题
例2 （1994年全国联赛题）已知一个平面与一个正方体的12条棱的夹角都等于α，则sinα=_______.
分析：如图2，通过观察可知棱A[，1]B[，1]、BB[，1]、C[，1]B[，1]与平面A[，1]BC[，1]成相等的角，即为12条棱与平面所成的角α（因其他9条棱分别平行这三条棱）.
因为BC[，1]⊥B[，1]C，BC[，1]⊥A[，1]B[，1]，所以BC[，1]⊥平面A[，1]B[，1]CD，从而得平面A[，1]BC[，1]⊥平面A[，1]B[，1]CD.
则A[，1]B[，1]，在平面A[，1]BC[，1]内的射影是A[，1]E（E是BC[，1]与B[，1]C的交点）.而在Rt△A[，1]B[，1]E中，得tanα=
练习2 （2001年春季高考题）图3是正方体的平面展开图，在这个正方体中，（1）BM与ED平行，（2）CN与BE是异面直线，（3）CN与BM成60°角，（4）DM与BN垂直。以上四个命题中，正确命题的序号是（
）
（A）（1）（2）（3）
（B）（2）（4）
（C）（3）（4）
（D）（2）（3）（4）
三、分割问题
例3 由棱长为1的单位正方体组合成一个棱长为5的大正方体，再将这个大正方体磨成尽可能大的球，则球内不被磨到的单位正方体的个数为（
）
（A）27个
（B）8个
（C）16个
（D）19个
分析：表层的单位正方体均应磨到或者去掉，于是剩下棱长为3的正方体，且球心在其中心处（如图4）.比较球心到该正方体顶点A及棱上离A较近的一个三等分点M的距离，与球半径2.5的大小.即由1.5[2]+1.5[2]+1.5[2]=6.75＞2.5[2]，及1.5[2]+1.5[2]+0.5[2]=4.75＜2.5[2]，知该正方体中只有顶点处的8个单位正方体被磨到，故选（D）.
练习3 用棱长为1的单位正方体组合成棱长为10的一个正方体，问从表面上看得见的单位正方体最多有几个？若将它的表面涂成红色，则至少有一个面是红色的单位正方体有多少个？
四、对称问题
例4 已知正方体ABCD—A[，1]B[，1]C[，1]D[，1]，则6个对角面分正方体咸几个部分？
分析：因6个对角面交线中含正方体的4条对角线，且相交于正方体中心O，所以先以O为顶点，各面为底面分割正方体成6个正四棱锥，再将各正四棱锥被所在的两个对角面分成4个相同的三棱锥.如图5，四棱锥O—ABCD分成三棱锥O—ABM，O—BCM，O—CDM，O—DAM（M是面ABCD为中心）.
故6个对角面分正方体成24个部分.
注：本题可改编为正方体6个对角面所在平面分空间成24个部分.
练习4 在正方体中，与各顶点的距离都相等的直线有几条？与五个面所在平面的距离都相等的点有几个？
五、计数问题
例5 （1998年全国联赛题）在正方体的8个顶点，12条棱的中点，6个面的中心及正方体的中心共27个点中，共线的三点组的个数是（
）
（A）57
（B）49
（C）43
（D）37
分析：12条棱均为三点共线的线段；面上除棱之外有4×6=24条三点共线的线段；正方体中心与其它26个点可连13条三点共线的线段.
故共有49条三点共线的线段，应选（B）.
练习5 （1990年全国高考题）以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有（
）
（A）70个
（B）64个
（C）58个
（D）52个
六、综合问题
例6 不透明正方体各面都写上一个自然数，若正方体几个面可同时看见，则求出看到面上的数之和，这样最多得到多少个不同的数？
分析：仅看到一个面有6种情形；看到两个面时由公共棱有12条可知有12种情形；看到三个面时由公共顶点有8个可知有8种情形，因此共有26个求和式子.可在6个面上写上1，2，2[2]，2[3]，2[4]；2[5]，则最多有26个不同的和.
练习6 （1992年全国联赛题）从正方体的棱和各个面上的对角线中选出k条，使得其中任意两条线段所在直线都是异面直线，则k的最大值是________.
练习题答案与提示：
1.阳光直射时影子是正方形；阳光斜射时光线平行一侧面则影子是矩形；否则是六边形.
2.选（C）.
3.最多能看见3个面上的单位正方体，即10[3]-9[3]=271个；至少有一个面是红色的单位正方体有10[3]-8[3]=488个.
4.相对面中心连线即为所求，共有3条；中心与各个面的对称点为所求，共有6个点.
6.观察图形可知AC、B[，1]D[，1]、BC[，1]、A[，1]D所在直线两两异面，假设有5条或5条以上的线段符合条件，则它们端点至少有10个，与正方体中8个顶点相矛盾.
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