保险公司未决赔款准备金的稳健贝叶斯估计，本文主要内容关键词为：准备金论文,稳健论文,保险公司论文,贝叶斯论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
中图分类号：F224.7文献标识码：A
引言
2005年1月15日，《保险公司非寿险业务准备金管理办法（试行）》在我国正式开始实施。这是我国第一部与国际通行做法保持一致的非寿险责任准备金计提标准。该管理办法规定对未决赔款准备金应谨慎提取。这表明探讨未决赔款准备金稳健的估计方法，对保险公司科学、谨慎评估准备金，稳健经营；对保险监管部门科学计量、分析、评估、防范保险公司非寿险业务的财务风险，具有非常重要的意义。
链梯法(Chain-Ladder)作为一种流量三角形(Run-off Triangles)技术，是一种常用的未决赔款准备金估计方法。但是，由于链梯法作为一种预测索赔数据的确定性方法，没有考虑随机影响因素，所以存在较多不足之处。
从随机模型观点出发对基本链梯法进行改进，这具有里程碑意义的工作是Kremer 1982年提出的。随后，Renshaw和Verral在此基础上从多方面进行了推广，1989年，Verrall将状态空间模型引入链梯模型的计算；1991年他对链梯模型中的参数进行最大似然估计；1993年，在累计赔付额非负的条件下，Verrall将链梯模型与线性模型进行了结合；1998年，Renshaw and Verral将广义线性模型(GLM)应用于链梯法，并给出了合适的预测模型。
Buhlmann(1967)将贝叶斯思想和方法引入到精算学的研究中。Buhlmann和Straub(1970)为经验贝叶斯信用方法奠定了基础。为了充分利用历史数据中的信息，提高未决赔款准备金估计的预测精度，Seollinik(2001)、Ioannis Ntzoufras(2002)等将现代贝叶斯理论和MCMC(Markov Chain Monte Carlo)方法引入了未决赔款准备金的估计中。Verrall(2004)将广义线性模型与贝叶斯分析结合，对准备金进行估计。
国内学者从1994年开始对未决赔款准备金估计问题进行研究，主要侧重于制度建设方面。魏迎宁(1994)讨论了未决赔款准备金的核算问题；方春银(1997)对IBNR损失的形成及其准备金的提存进行了探讨；吴清华(2000)从未决赔款准备金估算和管理中存在的问题出发，提出了加强未决赔款管理工作的具体措施；张徐和闫建军(2000)对我国常用的几种估算方法进行了较系统的评价；刘乐平和袁卫(2002)综述了未决赔款准备金估计方法的国内外最新进展；崔金平(2004)对非寿险未到期责任准备金提取方法进行探析；毛泽春和吕立信(2005)利用双广义线性模型对IBNR进行了预测；姚众志(2005)对《保险公司非寿险业务准备金管理办法（试行）》的实施步骤给出了具体的建议。
本文从贝叶斯稳健估计理论出发，探讨未决赔款准备金估计的稳健性问题。由于国内保险公司关于未决赔款准备金的历史数据很不健全，保险精算研究刚刚起步。所以一种稳健的估计方法对保险公司未决赔款准备金的谨慎提取不仅具有重要的理论意义，而且还可以为保险精算人员提供一种新的借鉴方法。以下从分层贝叶斯分析、广义线性模型和BMOM方法入手研究未决赔款准备金的稳健估计问题。
一、未决赔款准备金的稳健贝叶斯估计
（二）先验分布的确定
为了使得出的估计更具有稳健性，本文将分层贝叶斯分析和BMOM方法用于对模型中参数μ的先验分布的假设。
分层贝叶斯分析理论（茆诗松，王静龙等，1998）：分层贝叶斯分析尤其适用于中小样本统计，主要思想是可以同时综合统计结构和主观先验信息，可以方便地按层次建立模型。分层先验分布确定的方法：首先对未知参数θ给出一个形式已知的密度函数作为先验分布，即
，其中λ称为超参数，为取值范围。第二步是对超参数再给出一个超先验，由此可得分层先验分布的一般表现形式
（三）贝叶斯估计稳健性理论
稳健性就是指在统计分析中，我们对用来作统计推断的数据总不免要作理想化假设，如独立性假设、概率分布形式假设、无外部干扰或常称“污染”（粗差、系统误差等即属此类）假设等。如果假设的原条件发生稍微偏离或有不大的波动，这时，我们所采用的统计方法得出的统计推断结果也只有相应的微小变化，仍基本上具备原有的良好统计特性而不至于失效。我们将具有这种特性的统计方法称为稳健统计方法。对参数估计而言，如果已知数据由于受到系统性变化下的许多小误差的污染，对概率分布的假设有所偏离。但与此相对应，估计量仅有相应的小偏差，且不会随污染误差的增大而过大偏离真实值，将此估计称之为稳健估计。
在贝叶斯统计推断中，各种类型的先验分布的稳健性变化很大。共轭先验分布经常是不稳健的，这是因为它们和似然函数有同样形式的尾部。比似然函数有更扁平尾部的先验分布一般要优越些。由于非主观先验分布是扁平的，它能够提供稳健的结果。然而，太扁平的先验分布可能造成决策不可允许，这时可能需要考虑处于允许性的边界上的先验分布。如果先验分布使得熵最大，或使得信息最小，那它是稳健的（Samuel Kotz和吴喜之，2000）；最大熵先验分布，参照分布等为最好的例子。多层先验分布理论上总可以看成一级先验分布，而其稳健性在于一级先验分布的扁平的尾部。经验贝叶斯的先验分布是由数据来估计的，只要所有的数据用来估计超参数，则结果的先验分布是稳健的。
按照以上贝叶斯估计稳健性理论，本文采用的预测模型中，同时考虑索赔额和索赔次数，利用PPCF模型预测的思想，将索赔额数据进行变换，将其变成平均索赔额数据；模型将分层贝叶斯分析的理论和BMOM方法用于模型的先验分布的假设。所以本文讨论的未决赔款准备金贝叶斯估计符合稳健性估计的理论要求。
（四）条件后验分布的推导
为了对以上三阶段分层贝叶斯综合模型进行求解，本文将采用MCMC方法和WinBUGS软件。模型包含的参数有
。
（五）WinBUGS软件模拟运算
从以上条件后验分布出发，我们采用WinBUGS软件包进行模拟运算（刘乐平和袁卫2005），通过WinBUGS模拟可以得到模型中各参数的完全条件分布。利用WinBUGS进行Gibbs抽样时，先对参数进行初始值设定，再依次从各参数的完全条件分布中产生Gibbs抽样值。得到k次抽样值后，前m次作为预抽样值舍去(burn in)，后k-m次抽样值用于计算各参数的边缘后验密度。
二、实证研究
为了说明以上稳健估计方法的有效性，下面通过一具体实例进行实证研究。本文采用的数据来源于Ioannis Ntzoufras(2002)文中希腊一家主要的保险公司的数据。表1给出了该家保险公司提供的汽车索赔事故的赔付额（未考虑通货膨胀因素），数据分别表示各起始年发生的事故在各延迟年赔付的数额；表2的数据表示该家保险公司汽车索赔事故的索赔次数和索赔总次数，与表1相对应，数据表示保险公司对发生在各起始年的保险事故在各延迟年份中进行赔付的索赔次数；希腊银行提供的通货膨胀系数如表3所示。
表1 赔付额流量三角形
（单位：千德拉克马（Drachmas，希腊货币））
B
年份 1 23
4
5
6
7
1989
527003 183260 90539
50471
37875
10110
21165
1990
594059 237289 99640
52390
50723
39028
1991
810593 257122 87318
72538
81336
A 1992 1012181 339664 156531 181253
1993 1459202 448651 188698
1994 1689751 563683
1995 1698534
注：资料来源于Ioannis Ntzoufras，2002，表3。该文中所附表3中的第二行数据明显有误，本项目已根据该文的上下文数据进行修正。
表2 索赔次数
B总计
年份1
2 3 4 5 6 7
部分合计
1989 66221943
489
13861223
66
95429542
1990 69432133
632
154162
39010414
10496
1991 86102216
736
651256 12469
12601
A
1992 97913167
1570 624 15152
15565
1993 11722
3192
1773 16687
17735
1994 13684
3664 17348
19746
1995 1306813068
18600
注：资料来源于Ioannis Ntzoufras，2002，表4。
表3 通货膨胀系数
年份198919901991199219931994 19951996
通货膨胀(100%) 100.0120.4
143.9
166.6
190.6
214.2 235.6 257.0
注：资料来源于Ioannis Ntzoufras，2002，表5。
利用WinBUGS软件，通过对以上模型和数据迭代运算，将输出模拟结果按对应每一事故发生年，未决赔款准备金总数的后验均值、标准差和95%的概率区间整理，见表4；按对应未来每一年，即将赔付的总未决赔款准备金的后验均值、标准差和95%的概率区间整理，见表5（单位：Millions of Drachmas，且考虑了通货膨胀系数）。
表4 对应每一事故发生年，未决赔款准备金总数的后验均值、标准差和95%的概率区间
模型
年份 IN-PD模型2 本文模型
199031.11(19.36)(9.08,78.73)
28.32(13.52)(8.68,75.23)
199112.9(5.944)(5.35,27.31)16.36(7.235)(8.263,29.36)
199295.12(38.32)(43.88,187.5) 89.65(35.23)(46.98,189.3)
1993300.5(112.1)(145.0,570.0) 293.5(93.23)(165.3,436.2)
1994634.7(245.9)(297.56,1227.0)501.3(135.8)(296.3,802.6)
19951234.0(611.5)(469.9,2729.0)934.0(320.8)(520.9,676.0)
表5 对应未来每一年，即将赔付的总未决赔款准备金的后验均值、标准差和95%的概率区间
模型
年份IN-PD模型2 本文模型
19961075.0(390.6)(573.9,2020.0)965.6(259.3)(498.6,1596.3)
1997577.1(212.3)(296.9,1082.0) 469.2(156.8)(298.3,855.9)
1998361.3(147.5)(167.8,719.5) 369.2(98.56)(196.8,581.2)
1999185.1(92.44)(76.73,408.0) 162.8(45.69)(80.36,395.5)
200064.95(33.78)(24.26,146.9) 80.6(44.25)(23.58,125.8)
200136.33(30.26)(7.68,108.8)
28.64(15.72)(8.369,92.54)
为了检验本文所用模型和方法预测的准确性，将本文结果与原模型相比较。在Ioannis Ntzoufras(2002)中的四个模型中，模型2（IN-PD模型2）与实际的结果最为接近，模型模拟结果最理想。将本文模型的模拟结果与IN-PD模型2的模拟结果进行比较，可以发现两者的结果比较接近。
在对本文模型的模拟运算中，有意对参数的假设值进行较大改变，再比较不同参数假设得出的结果，以检验估计的稳健性，结果令人满意。
三、结论
本文采用的基于分层贝叶斯和BMOM方法的未决赔款准备金的稳健贝叶斯估计方法同经典的估计方法相比具有以下特点：
第一，估计的精确性。将未知参数当作服从某一分布的随机变量，由先验信息和数据样本信息，利用WinBUGS软件得出的贝叶斯估计不仅可以得到未决赔款准备金的估计值，还可得到估计值95%的可信区间。
第二，估计的可信性。未决赔款准备金的贝叶斯估计可以给出估计值的可信性理论解释。所谓可信性理论，就是保险公司根据历史赔付经验对续期保费进行调整的过程，这同贝叶斯推断的思想有异曲同工之处。
第三，估计的稳健性。在保证估计精确性的同时，将PPCF模型预测的思想、分层贝叶斯分析的理论和BMOM方法用于模型的先验分布的假设，提高了模型参数估计的稳健性，使模型具有较强的理论性和应用性。
第四，估计的可行性。由于应用WinBUGS软件包，大大提高了MCMC方法计算的速度与效率，程序编写清晰明了，软件操作方便，解决了贝叶斯统计分析计算的难题。
第五，估计的合理性。精算实际工作人员对未决赔款准备金具有某些先验信息，例如从其他保险历史数据获得，这些信息可以帮助确定模型中参数的先验分布，从而使最终的估计更具合理性。