数量关系表征：原生态与精致化的辩证思考，本文主要内容关键词为：表征论文,原生态论文,精致论文,数量论文,关系论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
数量关系是数量之间客观存在的内在联系，运用数学语言准确表征数量关系是数学活动的重要环节。纵观数学专业书籍，准确、简明、抽象是数量关系表达式的显著特征，其内蕴着数学对“更大的普遍性、更大的严格性、更大的简单性”的价值诉求。这种数量关系的存在性状对数学教学实践产生了深刻的影响：在数量关系表征上，教师普遍崇尚简约、概括的“精致化”表征，常常视之为唯一恰当的表征样式；轻视学生朴素的“原生态”表征，仅仅视之为走向精致的过渡与中介。学生“原生态”的数量关系表征是否具有其独特的内在价值？是否具有其特有的实践意蕴？两种表征之间是否是一种纯粹的“主辅”关系？本文以长方形周长和长方体、圆柱体表面积计算公式为例，对上述两种数量关系表征进行价值叩问，并尝试对两种表征之间的关系认识与实践把握展开初步的探讨。
一、数量关系的原生态表征与精致化表征
“数学是关于模式的科学”，模式的自由构造形成了无限丰富的“数学世界”。基于同一数量可以有多种不同的关系表征。根据心理学家维果茨基关于儿童智力发展水平的理论，我们可以对教学活动中真实发生的、指向同一数量的不同数量关系表征进行区分：“原生态”表征和“精致化”表征。所谓数量关系“原生态”表征是指学生在理解相关概念意义的基础上，独立探索、发现并表征的数量关系，它对应于学生的“现有发展区”。如学生在理解长方形周长概念和长方体、圆柱体表面积概念的基础上，通过观察、思考，自主发现并表征的数量关系：长方形周长＝长×2+宽×2；长方体表面积＝长×宽×2+长×高×2+宽×高×2；圆柱体表面积＝侧面积+底面积×2。相对于“原生态”表征而言，数量关系“精致化”表征通常是指学生在教师的启发和引导下，通过主动探索和深入思考而获得的比较简约、概括的数量关系，它对应于学生的“最近发展区”。如学生在教师的启发和引导下，依据概念意义重新建构并表征的数量关系：长方形周长＝（长+宽）×2；长方体表面积＝（长×宽+长×高+宽×高）×2；圆柱体表面积＝底面周长×（高+半径）。
数量关系原生态表征和精致化表征的“共存”现象是教学实践中客观存在的，而且两者都正确地揭示了数量之间的内在联系。但两者之间也存在着一定的差异：1.从形成的先后顺序来看，数量关系的原生态表征常常先于精致化表征，表现为时间上的初始性和性质上的原创性；2.从构建的条件来看，数量关系的原生态表征是学生基于其数学现实的自主性构建，具有完全的独立性，而后者常常是学生在教师的引导与帮助下实现的，表现出一定的依赖性；3.从概括程度来看，数量关系的精致化表征常常高于原生态表征（尽管后者也可能具有一定的概括性）；4.从发展层次来看，数量关系原生态表征真实、自然地反映了学生的“实际发展水平”，而精致化表征则指向于学生的“潜在发展水平”，是可能性发展向现实性发展转化的结果。
二、数量关系原生态表征与精致化表征的价值叩问
著名哲学家、教育家杜威认为，“价值”一词有双重含义——“内在的价值”和“工具的价值”。“内在的价值”是事物本身的价值，是丰富或完善的经验的名称。“工具的价值”是事物满足某种特殊需要、实现某种外在目的的价值。内在价值是工具价值的基础，“除非事物在某一点上有些内在的价值，就是说它本身就是好的，否则我们就不可能提出有关工具性的价值的问题，就是说它对某一件事情是好的”。据此，笔者从内在价值与工具价值两个方面对上述两种表征进行价值叩问。
1.内在价值的发现与认识
数量关系表征是数学活动过程与结果的结合体。从结果上看，无论是数量关系的原生态表征，还是精致化表征，都正确揭示和反映了数量之间的本质联系，因此两者都可称之为“完善的经验”。从过程上看，两种表征则呈现出不尽相同的形成路径。就长方形周长的原生态表征和精致化表征而言，前者是学生在理解长方形周长概念意义的基础上，通过观察、思考几何图形，将围成长方形的四条边进行分类：一类是长，有两条；另一类是宽，也有两条，由此得出：长方形周长＝长×2+宽×2。而后者则是学生在教师的启发和引导下，主动转换思维视角，对围成长方形的四条边进行分组：一条长和一条宽为一组，一共分为两组，由此得出：长方形周长＝（长+宽）×2。从两种表征的形成过程中可以看出：数量关系的两种表征都具有其特定的思维视角，各自从不同的角度揭示和反映数量之间的本质联系。结果的完善性与过程（或方法）的独特性表明了这样一个基本事实：数量关系的原生态表征和精致化表征都具有独特的内在价值。而“内在的价值是‘无价之宝’，‘无价之宝’之间是不能比较的”。
从教学实际来看，数量关系的精致化表征既可以从具体情境中生成（直接构建），也可以以已有的原生态表征为依托，通过引入一些数学元素加以间接构建。在本人看来，这事实上既反映了两种表征之间具有一定的内在联系，同时也是对原生态表征内在价值的充分肯定。那种视原生态表征为“未完成品”，而视精致化表征为“成品”的观念是错误的，错误的根源在于用比较而不是内在的观点看问题。
2.工具价值的显现与比较
数量关系原生态表征与精致化表征的内在价值是不能比较的，但在特定的问题情境中，出于成功解决问题的需要，就必须对两者的价值（工具价值、实践价值或应用价值）进行理性的比较、判断与选择。
从上述问题解决中可以看出：不同数量关系表征支持下的问题解决的方法与思路不尽相同，两者之间存在着密切关联。从解决问题的有效性来看，在前三个问题的解决过程中，无论是数量关系的原生态表征，还是精致化表征，都能支持当前问题获得成功解决，显示出同等的实践效用。从解决问题的灵活性来看，如果说在问题一的解决中两种数量关系表征“难分伯仲”，那么在问题二与问题三的解决中，两者之间的差异一目了然：数量关系的原生态表征较之于精致化表征明显“高出一筹”，表现在其“朴素”的思考方式与当前问题情境的高度契合，能使问题获得简明、便捷、高效的解决；而后者尽管也能使问题获得有效解决，但其主导下的解决问题的思路与方法却显得有些机械和繁琐。而对于问题四，数量关系的原生态表征“无能为力”，暴露出明显的局限性；数量关系精致化表征却能有效支持问题获得成功解决，彰显出应用的“普适性”。
以上分析表明，数量关系的两种表征都具有其独特的、无可替代的实践价值。我们不能因为原生态表征存在着一定的实践性局限而全盘否定，同样也不能因为精致化表征的普适性而推崇备至。那种视精致化表征为唯一恰当的表征样式以及实践中的“厚此薄彼”倾向无疑是错误的，其错误的根源在于忽视了数量关系表征在具体情景中的现实意义，游离于真实、具体的实践情境之外，抽象、孤立、片面地看问题。
三、原生态表征与精致化表征的互补与整合
通过对数量关系原生态表征与精致化表征的价值叩问，充分表明两种数量关系表征都具有其独特的内在价值和实践价值，而且在问题解决中都是价值与局限共存。即如上面问题解决事实所清楚表明的：数量关系的原生态表征既具有价值性（或适切性）的一面，也具有局限性的一面；数量关系的精致化表征具有应用的“普适性”，但具有“普适性”并不意味着具有解决问题的灵活性。因此，将这两种表征方式并重，并促进两者之间的互补与整合，帮助学生学会根据具体情境合理选择与灵活运用，无疑是数学教学实践的明智选择。
数量关系表征从单一的精致化转向以两者并重。要求教师在教学实践中必须重视学生原生态的数量关系表征，但又不能让学生的认知发展停滞在“自发”水平，要及时引领学生由原生态表征向精致化表征提升。可以通过引导学生转换思维方式直接构建出精致化的数量关系表征（直接构建方式），也可以引导学生运用已学过的数学定律、性质等对原生态表征进行形式化处理，从而逻辑推演出精致化的数量关系表征（间接构建方式）。就间接构建方式而言，教师必须注意的是：尽管学生经历了由原生态表征向精致化表征的逻辑推演过程，但并不意味着学生随之自然建立起与精致化表征相对应的数学思想方法，潜存着知识与方法“分离”的危险。这种“分离”状态不仅使精致化表征本身失去其在问题解决中“最有效的利用”，也是导致解决问题机械呆板的主要根源。因此，对于形式化推演出来的数量关系精致化表征，教师应及时引导学生将其与数学概念、直观图形联系起来综合考察，使学生发现、领悟和建立起与精致化表征相对应的数学思想方法，实现思维方式的转换，建构起精致化数量关系表征的完整意义。这样，在学生的脑海中，两种表征之间不再彼此互不相关，而是有机整合为同一概念心理表征的两个不同的关系侧面，即“和而不同”。
从更高的层面来看，坚持数量关系原生态表征与精致化表征两者并重，不仅仅是为了学生认知结构的完善，也不仅仅是为了解决某些具体问题，更重要的是为了学生智慧的生成与发展。“智慧就是在具体境遇中的游刃有余”，即能够对各种问题情境作出相应的准确判断，并能根据各自的具体情境选择恰当、合理的方法灵活地解决问题。数量关系表征从单一的精致化转向以两者并重，使学生形成了完善的认知结构，获得丰富的思想方法，这就为学生“智慧”地解决问题奠定了坚实的基础，使解决问题活动成为学生的智慧生长之“炉”。在解决问题过程中，学生可以从多种角度去思考问题，其思维视角是多向的，而不是单向的；其思维方式是多样的，而不是单一的。面对多种解决方案，学生又必须根据当前具体情境作出恰当、合理的选择。历经这一过程，学生获得的不仅仅是问题的成功解决，而且深化了对两种数量关系表征的认识，更有价值的是增强了自主判断与选择的意识与能力，提高了思维的灵活性与创造性。如此，数学教学才能真正逼近其鹄的——“使人具有活跃的智慧”，数学学习才能真正成为“智慧之学”。