山东中医药大学理工学院 山东 济南 250355
摘 要：本文以均值不等式为基础，拓展了不同形式的不等式及最值问题的解法，并讨论了在使用过程中应注意的问题。
关键词：不等式 最值 拆凑 极限
摘 要：本文以均值不等式为基础，拓展了不同形式的不等式及最值问题的解法，并讨论了在使用过程中应注意的问题。
关键词：不等式 最值 拆凑 极限
不等式问题是现代数学中一个重要的分支，其中蕴含的哲理丰富，解不等式要求逻辑性强，其方法也是千变万化，这其中也有不少妙招令人拍案叫绝。近年来考题中出现的难题因其形式多变往往以常规方法无从或难以下手，解题过程千姿百态，容易出错。本文结合具体实例，分析归纳一些解不等式的巧法与技巧。
一、判别式法
判别式法是指利用构造二次方程中有解（△≥0）这一条件，反解出所求式的取值范围，其中会出现连续转换，要注意自变量的变化。其实质是对所求变量整体代入已知条件进行范围转换。
例1．已知x,y>0，xy+2x+y=4，求x+y的最小值。
解：设t=x+y，则y=t-x。代入已知整理得x2-(t+1)x+4-t=0。上式有解：△=（t+1）2-4（4-t）≥0t2+6t-15≥0t∈（-∞，-3-2 6）∪[-3+2 6，+∞）因为x，y∈R+，所以tmin=2 6-3。
二、拆凑法
拆凑法是指对已知式或所求式中某一项系数进行拆分，进而联系其他变量进行均值放缩或其他放缩。这要求我们要掌握常见基本的不等式，如均值不等式。此法要求技巧性较高，需要敏锐的观察力和逻辑推理能力。
例2.若a,b,c＞0且a(a+b+c)+bc=4-2 3，求2a+b+c的最小值。
解：a(a+b+c)+bc=a(a+b)+c(a+b)=(a+c)(a+b)=4-2 3，2a+b+c=（a+b）+(a+c）≥2 （a+b）（a+c）=2 4-2 3=2 （ 3-1）2=2 3-2，所以2a+b+c的最小值为2 3-2。
三、带有sin、cos的分式
这里特指形如求y=的最值（值域）问题。（其中a,b,c,d均为常数且x∈R且ccosx+d≠0恒成立）
知识储备：合一变形公式（辅助角公式）Asinα+Bcosα= A2+B2sin（α+arctan ）。
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例3. 求t= (x∈R)的取值范围。
解：t= 3sinx-tcosx=2t 9+t2sin(x+φ)=2t（其中tanφ=- ）sin（x+φ）= ≤1t∈[- 3, 3]。
四、逆向思维
有些题目在证明不等关系时，从不等方向下手会显得比较棘手，这时我们不妨考虑先求出其相等关系的临界值，再说明除去临界值的不等关系。
例4. 已知a，b都是正数，且a＋b=1，求证： a+1+ b+1≤ 6。
证明：由a+b=1，知当a=b= 时有 a+1= b+1= ，
于是有 a+1· ≤ ， b+1· ≤ ，
两式相加，得 a+1· + b+1· ≤ =3，即 a+1+ b+1≤ 6。
点评：上式的证明过程中先凑出一个数 ，这是根据字母a、b在题设条件和结论中地位是对等的（即在条件和结论中把a换成b，b换成b，条件和结论不变）这一事实得到的，其意图很明显，必须两式同时取等号，不等式才能取等号。
五、加强不等式法
一些证明数列与正整数有关不等式时若直接进行数学归纳法往往会行不通，需要对原命题进行强化，即放缩不等号一边，以达到更强的结论。这对构造放缩后的函数要求较高。
例5.设n∈N*，求证∑< 。
分析：因不等号右边为常数，而左边由k变到k+1会不断增大，无法直接用数学归纳法证明。现考虑1im= 且n=1时 ＜ ＜ 满足要求。故把原不等式强化为∑ < ，这样不等号两边均成变量，可以使用数学归纳法来证明。
解：略。
六、极限法
将求和不等问题放置于极限状态，会有意想不到的结果。
例6.设n∈N*，求证∑≤ 。
解：∑ <∑ （ - ）= ·（1- ），两边同时取极限，得1im∑ <1im ·（1- )= 。
本文总结了在均值不等式的基础下，解各种不等式的巧法及技巧，将不等式思想与其他重要理论相结合，展现了解不等式方法的多变性与灵活性，更拓展了思维方向，打破传统只套公式的思路，对较难题的非常规解法进行说明，展示了数学不同分支的融合统一、互为补充。
参考文献
[1]任文刚 巧用均值凑数法证明一类不等式[J].高中数学教与学，2004，(11)，46-47。
[2]罗会元 运用解不等式也能证明不等式[J].数学教学通讯，2007，(11)，52-53。
[3]武增明 加强命题证明数列不等式问题的探讨[J].中学生数学，2009，(8)，17-18。
[4]蔡小雄 用加强命题法证明数列不等式[J].中等数学，2007，(10)，5-8。
[5]田林 求多元分式最值四法[J].数理天地，高中版，2011，(10)，8-9。
论文作者:陈子轩
论文发表刊物:《教育学文摘》2016年10月总第208期
论文发表时间:2016/11/8
标签：不等式论文; 不等号论文; 均值论文; 归纳法论文; 数学论文; 数列论文; 解法论文; 《教育学文摘》2016年10月总第208期论文;